Mathematical Engineering - Algebra Lineare e Geometria

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Es. 1Es. 2Es. 3Totale Algebra Lineare e Geometria MTM – Parte BQuarto appello Docente:22 gennaio 2024 Cognome:Nome:Matricola: La prova dura 90 minuti. Ogni risposta deve essere opportunamente giustificata. La soluzione degli esercizi deve essere riportata su questi fogli, di cui potete utilizzare anche il retro. I fogli protocollo di brutta non devono essere consegnati. Durante la prova non `e consentito l’uso di libri, quaderni, calcolatrici programmabili e telefoni cellulari. Esercizio 1.Si considerino: lo spazio vettorialeVdei polinomi realiP(x) =a+bx+cx2 +dx3 e la funzioneL:V→V definita da L a+bx+cx2 +dx3
= 3a+b−2d+ (a+ 4b+c−8d)x+ (6a−2b+ 3c+ 4d)x2 + (2a−7b+ 2c+ 14d)x3 1.Si spieghi in una riga perch´eL`e lineare e si scriva la matriceAche rappresentaLrispetto alla base 1, x, x2 , x3 diV. 2.Si determinino il rango diLe una base del nucleo diL. 3.Si determinino i valori del parametro realekper cui l’equazioneL(P(x)) = 6 + 5x+k x2 + 10x3 ha almeno una soluzioneP(x) inV. Per tali valori dikla soluzione `e unica? ♡1 di 3♡ Esercizio 2. Considera la matrice A= 0 1 2 −2−3 2 −1 1 3 ∈M R(3 ,3) e l’applicazione lineareL A: R3 →R3 definita daL A( x) = Ax. (i)Verifica che i vettori v1 = 5 e1 − e2 + 3 e3 , v2 = e1 + e2 + e3 , v3 = e2 formano una baseBdiR3 (quiE={e1 , e2 , e3 } denota la base canonica diR3 ). (ii)Determina la matrice rappresentativa diL Arispetto alla base B={v1 , v2 , v3 } per il dominio e alla base canonica E={e1 , e2 , e3 } per il codominio. (iii)Determina la matrice rappresentativa diL Arispetto alla base B={v1 , v2 , v3 } sia per il dominio che per il codominio. (iv)Verifica cheλ= 2 `e un autovalore diA. (v)Stabilisci se la matriceA`e diagonalizzabile suR. In caso affermativo, calcola una base diR3 formata da autovettori diA. ♡2 di 3♡ Esercizio 3. Nello spazio euclideoR4 dotato del prodotto scalare standard, si fissi il vettorev= [1,−1,1,−1]T . 1.Si scriva la matrice della proiezione ortogonaleπ L: R4 →R4 sul sottospazioL= Span(v) generato dav. 2.DettaIla matrice identit`a 4×4, si consideri la matriceA=I−12 vv T e si calcoli il rango delle matriciA−Ie A+I. 3.Si determini se possibile una base ortonormale diR4 formata da autovettori diA. Si descriva geometricamente l’applicazione lineareL A: R4 →R4 definita daL A( x) =Ax. ♡3 di 3♡