Mathematical Engineering - Algebra Lineare e Geometria

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Es. 1Es. 2Es. 3Totale Algebra Lineare e Geometria MTM – Parte BQuarto appello Docente:24 gennaio 2025 Cognome:Nome:Matricola: La prova dura 90 minuti. Ogni risposta deve essere opportunamente giustificata. La soluzione degli esercizi deve essere riportata su questi fogli, di cui potete utilizzare anche il retro. I fogli protocollo di brutta non devono essere consegnati. Durante la prova non `e consentito l’uso di libri, quaderni, calcolatrici programmabili e telefoni cellulari. Esercizio 1.Siakun parametro reale. Dati nello spazio euclideoE3 i piani di equazione rispettivamente 4x+y−z= 13, 2x+y= 9 ekx+ 2y+z= 14, 1.si determini il valore dikper cui l’intersezione dei 3 piani `e una retta, e si determinino delle equazioni parametriche di tale retta; 2.si calcoli la distanza tra la retta del punto precedente, e la retta per l’origine con vettore direzionew= [2,1,0]T . Le due rette in questione sono parallele, incidenti o sghembe? Giustificare la risposta. 1 Esercizio 2. Nello spazio vettorialeR3 dotato della base canonicaB={e1 , e2 , e3 } , considera l’applicazione lineareL:R3 →R3 definita dalle seguenti condizioni: •L(e1 ) = e1 + e2 − ae3 , a∈R; •L(e2 ) = 3 e2 − e3 ; •e2 − e3 `e un autovettore di Lcon autovaloreλ= 1. 1.Determina la matrice rappresentativaAdiLrispetto alla base canonicaB. 2.Calcola gli autovalori diAe determina una base per ogni autospazio. 3.Stabilisci per quali valori dia∈R, la matriceA`e diagonalizzabile suR. Per i valori trovati, esibisci una base di R3 formata da autovettori diAe calcolaAn per ognin∈N. 2 Esercizio 3. Si consideri la forma quadratica: q(x, y, z) = 2x2 −2y2 + 2z2 + 2xy+ 6xz−2yz 1.Si scriva la matrice simmetricaAassociata alla forma quadraticaq. 2.Si determini la decomposizione spettrale della matriceA. 3.Si calcolino il valore minimome il valore massimoMdella funzioneqristretta alla sfera dei versori S2 = v∈R3 ∥v∥= 1 . 4.Si determinino due versoriv m, v M∈ S2 tali cheq(v m) = meq(v M) = M. 3