Mathematical Engineering - Algebra Lineare e Geometria

Full exam

Esercizio 1.Si consideri il sistema lineare ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩x+3y−4z=4 2x+2y−z=2 −x+y+bz=0 Si determinino i valori dibper cui il sistema non ammette soluzioni, e per tali valori si trovino le soluzioni ai minimi quadrati del sistema. ♥2di4 ♥ Esercizio 2.Nello spazio vettoriale delle matriciM R(2,2), si considerino gli spazi vettoriali V= Span 1−1 20 , 20 1−3 , 0−2 33 , W=  ab cd ∈M R(2,2)   a+3b−c−d=0 . 1. Si determini una base e la dimensione diV. 2. Si determini una base dell’intersezioneV∩W. 3. Si completi la base dell’intersezioneV∩Wad una base diW. 4. Si calcolino tutte le coppie (B, C)∈V×Wche soddisfano la relazione B+C=I(la matrice identit`a). ♥3di4 ♥ Esercizio 3.Si consideri la matrice A=1 2⎡ ⎢ ⎢ ⎣1k−1−1 111 1 −11 1−1 −11−11⎤ ⎥ ⎥ ⎦ 1. Per quale valore dikesiste una base ortonormale diR 4, rispetto al prodotto scalare standard, formata da autovettori della matriceA? Per tale valore si verifichi che la matriceA`e ortogonale, e si determinino gli autovalori diA(non occorre calcolare il polinomio caratteristico). 2. Per il valore diktrovato al punto precedente, si determini una base ortonormale diR 4formata autovettori di A, e si calcoliA nper ogni interon(anche negativo. ♥4di4 ♥