Mathematical Engineering - Algebra Lineare e Geometria

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Algebra Lineare e Geometria, Programma svolto a. a. 2014-2015 aggiornato al 27 Maggio 2015 (*) signica "con dimostrazione" 1 Vettori nello spazio. Geometria analitica nello spazio. Vettori applicati e vettori liberi. Somma di vettori. Prodotto per uno scalare. Sistemi di riferimento (nel piano e nello spazio). Componenti di un vettore e loro linearita. Insieme dei vettori liberi nel piano e vettori inR2 . Insieme dei vettori liberi nello spazio e vettori inR3 . Prodotto scalare. Vettori ortogonali. Proiezioni ortogonali. Prodotto vettoriale. Prodotto misto. Equazioni parametriche di una retta nello spazio ed equazione di un piano nello spazio. Posizione reciproca di due rette. Distanze (tra due punti, tra un punto e un piano, tra un punto e una retta, tra due rette). Riferimenti: Da (1), cap. 1, sez. 3, 4, 5, 6, 7, 8.1 (no a p. 50), 8.2, 8.3, 8.4, 8.6, 8.7, 8.8. Esercizi consigliati: tutti gli esempi svolti nelle sezioni indicate; p. 39 n. 9, 10, 11, 14, 15 p. 65 n. 2735, 37, 40, 41, 42, 43, 44. 2 Sistemi lineari Generalita sui sistemi lineari. InsiemeKn , somma e prodotto per uno scalare. Matrici. Somma, prodotto di una matrice per uno scalare e proprieta, prodotto righe per colonne e proprieta. Matrici invertibili. Unicita dell'inversa di una matrice (*). Rappresentazione matriciale di un sistema. Combinazioni lineari. Matrici a scala. Operazione elementari sulle righe di una matrice. Il metodo di Gauss (MEG): riduzione a scala di una matrice (*). Pivots e rango di una matrice. Sistemi omogenei e nucleo di una matrice. Teorema di struttura delle soluzioni di un sistema lineare (Soluzioni si ottengono sommando a soluzione particolare i vettori del nucleo) (*). Teorema di Cramer (*). Teorema di Rouche-Capelli. Riferimenti: Da (1), cap. 2, sez. 1, 2, 3, 4, 5,6. Cap. 3, sez. 2, 3, 4. Esercizi consigliati: tutti gli esempi svolti nelle sezioni indicate. Inoltre: p. 116 e seguenti n. 112, 1726, p. 127 n. 18, 13, 15. p. 133 n. 1619. 3 Spazi vettoriali Spazi vettoriali su un campoKe sottospazi vettoriali. Esempi; lo spazio vettorialeKn . Il nu- cleo ker(A) e sottospazio vettoriale diKn (*). Combinazioni lineari di vettori. Dipendenza e indipendenza lineare. Sottospazio generato da un insieme di vettori (*). Intersezione e somma di sottospazi sono sottospazi (*). Formula di Grassmann. Costruzione di insiemi di vettori linearmente indipendenti (*) (Proposizione 5.2 in (1)). Base di uno spazio vettoriale. Caratter- izzazione di una base (*) (Proposizione 6.2 in (1)). Esempi. Mappa di parametrizzazione e delle 1 coordinate sono additive e omogenee. Insieme massimale di vettori linearmente indipendenti e una base (*). Base per il nucleo di una matrice. Lemma fondamentale (Teorema 6.5) (*).Esistenza di una base di un sottospazio di uno spazio vettoriale di dimensione nita (*) (Teo- rema 6.7) e invarianza del numero degli elementi di una base (*) (Corollario 6.8). Dimensione. Coordinate rispetto ad una base. Spazio riga e spazio colonna. Rango per righe e per colonne. Il rango per righe e uguale al numero di pivots di una ridotta a scala (*). Il rango per colonne e uguale al numero di pivots di una ridotta a scala (*). Teorema di nullita piu rango. Una matrice quadrata di ordinene invertibile se e solo se ha rangon(*). Riferimenti: Da (1), cap. 4, sez. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 (no a p. 212). Esercizi consigliati: tutti gli esempi svolti nelle sezioni indicate; p. 162 n. 39, p. 167 n. 1017, 24, p. 172 n. 2535, p. 183 n. 3749, p. 191 n. 50, 51, 53, 55, p. 200, 5665, p. 214 n. 6971. 4 Applicazioni lineari. Diagonalizzazione di matrici Denizione di applicazione lineare, esempi. Applicazione lineare associata ad una matrice. Fi- bre, nucleo, immagine. Nucleo e immagine sono sottospazi (*). Le bre diLsono descritte comev 0+ ker( L) (*). Applicazioni lineari iniettive, suriettive, biiettive. Un'applicazione lineare e caratterizzata dalle immagini dei vettori di una base (*). Composizione di applicazioni lineari.Isomorsmi. Ogni spazio vettoriale di dimensionene isomorfo aKn . Teorema di rappresen- tazione (*). Cambiamento di base e matrice associata (*) (Proposizione 7.3 p. 189). Formula di cambiamento della matrice rappresentativa (Proposizione 5.5 p. 250). Rango di un'applicazione lineare. Teorema di nullita piu rango. Condizioni di iniettivita, suriettivita e rango. Determinante di una matrice quadrata: denizione, proprieta. Teoremi di Laplace e di Binet. Relazione tra il determinante di una matrice e quello di una sua ridotta a scala. Proprieta del determinante. Rango e teorema di Kronecker. Calcolo dell'inversa di una matrice. Autovalori e autovettori di un'applicazione lineare (e di una matrice). Polinomio caratteristico e sue proprieta. Similitudine di matrici. Matrici simili hanno lo stesso polinomio caratteristico (*). Matrici diagonalizzabili. Criterio di diagonalizzabilita (Proposizione 3.4) (*). Autospazi. Autovettori relativi ad autovalori distinti sono linearmente indipendenti (*). Conseguenza: Con- dizione sufficiente affinch una matrice sia diagonalizzabile (*) (Teorema 4.7) (*). Molteplicita algebrica e geometrica di un autovalore. Autovalori regolari. Condizione necessaria e sufficiente affinche una matrice sia diagonalizzabile (Teorema 4.11) (*). Riferimenti: Da (1), cap. 5, sez. 1, 2, 3, 4, 5, 6. Cap. 6, sez. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Cap. 7, no a pag. 333. Esercizi consigliati: tutti gli esempi svolti nelle sezioni indicate; p. 225 n. 17, p. 231 n. 911, p. 238 n. 1218; p. 251 n. 20, 21, 22, 2428, 30, p. 257 n. 3644, 46; p. 279 n. 11, 12, 13; p. 288 n. 1518. p. 295 n. 23, 24. p. 311, n. 5, 6, 7. p. 328, n. 124, p. 330 n. 27, 28, 30, 31. 5 Spazi euclidei Prodotto scalare (o interno) in uno spazio vettoriale reale. Esempi;Rn con prodotto interno standard, funzioni continue su [a; b] con prodottoL2 (ovvero integrale del prodotto di funzioni). Norma di un vettore e sue proprieta; ortogonalita. Teoremi di Carnot e di Pitagora (*) teorem di Pitagora generalizzato. Disuguaglianza di Schwarz. Angolo fra due vettori. Proiezione or- togonale su una retta. Basi ortonormali. Prodotto scalare e norma rispetto a basi ortonormali (Corollario 4.4) (*). Sottospazio ortogonale a un insieme di vettori. Coefficienti di Fourier. Proiezioni ortogonali su spazi di dimensione nita: teorema di esistenza e unicita. Proiezione 2 ortogonale su un sottospazio nito dimensionale di cui si conosce una base ortogonale (*). Algo- ritmo di Gram-Schmidt (*). Matrici ortogonali e loro caratterizzazione (*) (colonne formano base ortonormale diRn ). Varie proprieta delle matrici ortogonali. Complemento ortogonale. Com- plemento ortogonale degli spazi riga e colonna di una matrice (Proposizione 6.2)(*). Equazioni normali. Soluzione ai minimi quadrati di un sistema sovradeterminato e caratterizzazione (*) (Proposizione 6.3). Riferimenti: Da (1), cap. 8, sez. 1, 2, 3, 4, 5 (no fattorizzazione QR), 6 no a p. 407 Esercizi consigliati: tutti gli esempi svolti nelle sezioni/pagine indicate; p. 369 n.15; p. 377 n. 69; p.387, n. 1319; p. 404, n. 2631; 6 Testi di riferimento(1) E. Schlesinger,Algebra lineare e geometria, Ed. Zanichelli, 2011. (2) L. Mauri, E. Schlesinger,Esercizi di algebra lineare e geometria, Ed. Zanichelli, 2013. Uno degli esercizi della prima prova intermedia sara scelto tra uno degli esercizi consigliati. 3