Mathematical Engineering - Algebra Lineare e Geometria

Vandermonde

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286Capitolo 6. Determinantec 978-88-08-06485-1 la matriceA∗ `e A∗ = d−b −ca Sead−bc = 0, ritroviamo la formula per l’inversa A− 1 =1 ad −bc d−b −ca C OROLLARIO5.4 (Formula di Cramer) Un sistema quadratoAx=bcon det(A) = 0 ammette l’unica soluzionev= [x 1,...,x n]T di componenti xi=det( A i) det( A) doveA i`e ottenuta sostituendo la colonna idiAcol termine notob. Dimostrazione.Poich´eAha determinante non nullo, il sistema ammette un’unica solu- zione v=A− 1 b=1 det( A)A ∗ b Sviluppando il determinante diA irispetto alla colonna isi trova che det(A i)` e uguale al prodotto della rigaidiA∗ conb, quindi xi( v)=det( A i) det( A) Esempio Determinante di Vandermonde Fissatidscalarix 1,...,x d, consideriamo la matrice, detta di Vandermonde (5.5)V(x 1,...,x d)=⎡ ⎢ ⎢⎢⎢ ⎣1 x 1x2 1 ... xd −1 1 1x 2x2 2 ... xd −1 2 . .............. 1x dx2 d ... xd −1 d⎤ ⎥ ⎥⎥⎥ ⎦ Il determinante di questa matrice, dettodeterminante di Vandermonde,`e il prodotto di tutte le differenzex j− x icon j>i: (5.6) det(V(x 1,...,x d)) = 1 x 1x2 1 ... xd −1 1 1x 2x22 ... xd −1 2 . .............. 1x dx2 d ... xd −1 d  = 5 1≤i