Mathematical Engineering - Algebra Lineare e Geometria

Second partial exam

Es. 2Es. 3Totale Seconda Prova Intermedia Docente: E. Schlesinger 3 luglio 2009 Cognome: Nome: Matricola: Trovare la soluzione ai minimi quadrati del sistemaAx=bnel caso in cui: A=2 41 2 2 1 ¡1 13 5 eb=2 45 4 ¡23 5 Data la matriceA=· 3=4 1=4 1=4 3=4¸ (a) si determinino gli autovalori e gli autovettori diA (b) si calcolinoAn , per ognin¸1, e il limite A1 = lim n!+1An (c) la matriceAµe de¯nita positiva? Se sµ³, si determini la radice quadrata simmetrica diA(una matrice simmetrica de¯nita positivaRtale cheR2 =A). Se inveceAnon µe de¯nita positiva, si determinino i valori singolari¾ 1e¾ 2diA. SiaEuna matrice antisimmetrica reale di ordinen:ET =¡E. (a) Si mostri che ogni autovalore¸diEµe un numero immaginario puro (un numero complesso µe immaginario puro se ha parte reale nulla, anche zero µe un numero immaginario puro). (b) Sia¸=itun autovalore diE(t2R), e siav2Cn un autovettore relativo a¸. Sianoxeyla parte reale e la parte immaginaria div: v=x+iy Si supponga chexeyabbiano norma uno e siano perpendicolari tra loro (questo si puµo sempre assumere set6 = 0 perch¶e si dimostra chejjxjj=jjyjjeyT x= 0). Spiegare come si puµo costruire una matrice ortogonalePtale che PT EP=2 40t0T ¡t00T 0 0 E 13 5 N.B. I tre punti sono indipendenti: (b) assume (a), e si puµo svolgere (c) assumendo (b). Es. 2Es. 3Totale Seconda Prova Intermedia Docente: E. Schlesinger 3 luglio 2009 Cognome: Nome: Matricola: Trovare la soluzione ai minimi quadrati del sistemaAx=bnel caso in cui: A=2 41 2 2¡1 ¡1 13 5 eb=2 43 6 43 5 Data la matriceA=· 2=3 1=3 1=3 2=3¸ (a) si determinino gli autovalori e gli autovettori diA (b) si calcolinoAn , per ognin¸1, e il limite A1 = lim n!+1An (c) la matriceAµe de¯nita positiva? Se sµ³, si determini la radice quadrata simmetrica diA(una matrice simmetrica de¯nita positivaRtale cheR2 =A). Se inveceAnon µe de¯nita positiva, si determinino i valori singolari¾ 1e¾ 2diA. SiaQuna matrice ortogonale di ordinen. (a) Si mostri che ogni autovalore complesso¸diQha modulo uno. (b) Sia¸= cos(µ) +isin(µ) un autovalore diQ, e siav2Cn un autovettore relativo a¸. Sianoxey la parte reale e la parte immaginaria div: v=x+iy Si supponga chexeyabbiano norma uno e siano perpendicolari tra loro (questo si puµo sempre assumere se sin(µ)6 = 0 perch¶e si dimostra chejjxjj=jjyjjeyT x= 0). Spiegare come si puµo costruire una matrice ortogonalePtale che PT QP=2 4cos(µ) sin(µ)0T ¡sin(µ) cos(µ)0T 0 0 Q 13 5 N.B. I tre punti sono indipendenti: (b) assume (a), e si puµo svolgere (c) assumendo (b). Es. 2Es. 3Totale Seconda Prova Intermedia Docente: E. Schlesinger 3 luglio 2009 Cognome: Nome: Matricola: Trovare la soluzione ai minimi quadrati del sistemaAx=bnel caso in cui: A=2 41 2 2 1 ¡1 13 5 eb=2 42 7 13 5 Data la matriceA=· 1=4 3=4 3=4 1=4¸ (a) si determinino gli autovalori e gli autovettori diA (b) si calcolinoAn , per ognin¸1, e il limite A1 = lim n!+1An (c) la matriceAµe de¯nita positiva? Se sµ³, si determini la radice quadrata simmetrica diA(una matrice simmetrica de¯nita positivaRtale cheR2 =A). Se inveceAnon µe de¯nita positiva, si determinino i valori singolari¾ 1e¾ 2diA. SiaEuna matrice antisimmetrica reale di ordinen:ET =¡E. (a) Si mostri che ogni autovalore¸diEµe un numero immaginario puro (un numero complesso µe immaginario puro se ha parte reale nulla, anche zero µe un numero immaginario puro). (b) Sia¸=itun autovalore diE(t2R), e siav2Cn un autovettore relativo a¸. Sianoxeyla parte reale e la parte immaginaria div: v=x+iy Si supponga chexeyabbiano norma uno e siano perpendicolari tra loro (questo si puµo sempre assumere set6 = 0 perch¶e si dimostra chejjxjj=jjyjjeyT x= 0). Spiegare come si puµo costruire una matrice ortogonalePtale che PT EP=2 40t0T ¡t00T 0 0 E 13 5 N.B. I tre punti sono indipendenti: (b) assume (a), e si puµo svolgere (c) assumendo (b). Es. 2Es. 3Totale Seconda Prova Intermedia Docente: E. Schlesinger 3 luglio 2009 Cognome: Nome: Matricola: Trovare la soluzione ai minimi quadrati del sistemaAx=bnel caso in cui: A=2 41 2 2¡1 ¡1 13 5 eb=2 46 ¡3 ¡113 5 Data la matriceA=· 1=3 2=3 2=3 1=3¸ (a) si determinino gli autovalori e gli autovettori diA (b) si calcolinoAn , per ognin¸1, e il limite A1 = lim n!+1An (c) la matriceAµe de¯nita positiva? Se sµ³, si determini la radice quadrata simmetrica diA(una matrice simmetrica de¯nita positivaRtale cheR2 =A). Se inveceAnon µe de¯nita positiva, si determinino i valori singolari¾ 1e¾ 2diA. SiaQuna matrice ortogonale di ordinen. (a) Si mostri che ogni autovalore complesso¸diQha modulo uno. (b) Sia¸= cos(µ) +isin(µ) un autovalore diQ, e siav2Cn un autovettore relativo a¸. Sianoxey la parte reale e la parte immaginaria div: v=x+iy Si supponga chexeyabbiano norma uno e siano perpendicolari tra loro (questo si puµo sempre assumere se sin(µ)6 = 0 perch¶e si dimostra chejjxjj=jjyjjeyT x= 0). Spiegare come si puµo costruire una matrice ortogonalePtale che PT QP=2 4cos(µ) sin(µ)0T ¡sin(µ) cos(µ)0T 0 0 Q 13 5 N.B. I tre punti sono indipendenti: (b) assume (a), e si puµo svolgere (c) assumendo (b).