Mathematical Engineering - Algebra Lineare e Geometria

Second partial exam

Es. 2 Es. 3 Es. 4 Totale Prova intermedia Docente: 1 luglio 2010 Cognome: Nome: Matricola: Si considerino la matrice A=2 41 1 1¡2 0 13 5 Data la matrice A=2 42h2 k1 2 h0 13 5 a) per quali valori dei parametri realih; kla matriceAammette 1 come autovalore? b) in corrispondenza dei valori trovati, discutere quandoAµe diagonalizzabile e de- terminare, quando esiste, una base diR3 formata da autovettori diA. c) postoh= 0,k= 1, esiste una matrice ortogonaleQtale cheQA=DQ, dove D= diag(1;1;2)? Si supponga che una matrice quadrataAdi ordine 3 abbia autovalori 0,¡2 e 4 con rispettivi autovettoriu,vew. a) i tre autovettoriu,vewsono linearmente indipendenti? b) determinare una base del nucleo e una base dello spazio colonna diA; c) determinare tutte le soluzioni dell'equazioneAx= 3v¡5w; d) mostrare che l'equazioneAx=unon ha soluzioni. SianoA,Bmatrici quadrate di ordinen. a) veri¯care cheABeBAhanno gli stessi autovalori; b) veri¯care che, seBµe invertibile,ABeBAsono simili; c) trovare due matrici quadrateAeBtali cheABeBAnon sono simili. Es. 2 Es. 3 Es. 4 Totale Prova intermedia Docente: 1 luglio 2010 Cognome: Nome: Matricola: Si considerino la matrice A=2 42¡2 ¡1 0 1 13 5 Data la matrice A=2 41a b b2 0 2 2 23 5 a) per quali valori dei parametri realiaebla matriceAammette 2 come autovalore? b) in corrispondenza dei valori trovati, discutere quandoAµe diagonalizzabile e de- terminare, quando esiste, una base diR3 formata da autovettori diA. c) postoa=¡1 eb= 0, esiste una matrice ortogonaleQtale cheQA=DQ, dove D= diag(1;2;2)? Si supponga che una matrice quadrataAdi ordine 3 abbia autovalori 0, 5 e¡3 con rispettivi autovettoriu,vew. a) i tre autovettoriu,vewsono linearmente indipendenti? b) determinare una base del nucleo e una base dello spazio colonna diA; c) determinare tutte le soluzioni dell'equazioneAx= 4v+ 2w; d) mostrare che l'equazioneAx=unon ha soluzioni. SianoA,Bmatrici quadrate di ordinen. a) veri¯care cheABeBAhanno gli stessi autovalori; b) veri¯care che, seBµe invertibile,ABeBAsono simili; c) trovare due matrici quadrateAeBtali cheABeBAnon sono simili.