Mathematical Engineering - Algebra Lineare e Geometria

Second partial exam

Es. 1Es. 2Es. 3Totale Algebra lineare e GeometriaSeconda Prova intermedia Ingegneria Matematica3 luglio 2012 Cognome:Nome:Matricola: Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessita, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. Tutte le risposte devono essere giusticate Esercizio 1 (Punti 18) SiaAla matrice2 42 2 0 2 3 2 0 2 43 5 (a) Si calcolino il determinante e la traccia diA. (b) Si determinino gli autovalori diAe si verichi che la loro somma e il loro prodotto coincidono con la traccia e il determinante rispettivamente. (c) Si determini una base ortonormale diR3 formata da autovettori diA. Esercizio 2(Punti 8) Si scriva una matrice ortogonaleQcondeterminante uguale a unoche diagonalizza la matriceAdell'esercizio precedente. Per il teorema di Eulero, la matriceQrappresenta una rotazione dello spazio: determinare l'asse di rotazione e il coseno dell'angolo di rotazione. Esercizio 3(Punti 7) SiaQla matrice ortogonale dell'esercizio precedente. Si determini una matrice ortogo- nalePtale chePT QPsia della forma2 4cos( )sin() 0 sin() cos() 0 00 13 5. Quali sono gli autovalori diQ? Es. 1Es. 2Es. 3Totale Algebra lineare e GeometriaSeconda Prova intermedia Ingegneria Matematica3 luglio 2012 Cognome:Nome:Matricola: Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessita, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. Tutte le risposte devono essere giusticate Esercizio 1 (Punti 18) SiaAla matrice2 43 2 2 2 4 0 2 0 23 5 (a) Si calcolino il determinante e la traccia diA. (b) Si determinino gli autovalori diAe si verichi che la loro somma e il loro prodotto coincidono con la traccia e il determinante rispettivamente. (c) Si determini una base ortonormale diR3 formata da autovettori diA. Esercizio 2(Punti 8) Si scriva una matrice ortogonaleQcondeterminante uguale a unoche diagonalizza la matriceAdell'esercizio precedente. Per il teorema di Eulero, la matriceQ rappresenta una rotazione dello spazio: determinare l'asse di rotazione e il coseno dell'angolo di rotazione. Esercizio 3(Punti 7) SiaQla matrice ortogonale dell'esercizio precedente. Si determini una matrice ortogonalePtale chePT QPsia della forma2 4cos( )sin() 0 sin() cos() 0 00 13 5. Quali sono gli autovalori diQ? Es. 1Es. 2Es. 3Totale Algebra lineare e GeometriaSeconda Prova intermedia Ingegneria Matematica3 luglio 2012 Cognome:Nome:Matricola: Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessita, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. Tutte le risposte devono essere giusticate Esercizio 1 (Punti 18) SiaAla matrice2 44 0 2 0 22 22 33 5 (a) Si calcolino il determinante e la traccia diA. (b) Si determinino gli autovalori diAe si verichi che la loro somma e il loro prodotto coincidono con la traccia e il determinante rispettivamente. (c) Si determini una base ortonormale diR3 formata da autovettori diA. Esercizio 2(Punti 8) Si scriva una matrice ortogonaleQcondeterminante uguale a unoche diagonalizza la matriceAdell'esercizio precedente. Per il teorema di Eulero, la matriceQ rappresenta una rotazione dello spazio: determinare l'asse di rotazione e il coseno dell'angolo di rotazione. Esercizio 3(Punti 7) SiaQla matrice ortogonale dell'esercizio precedente. Si determini una matrice ortogonalePtale chePT QPsia della forma2 4cos( )sin() 0 sin() cos() 0 00 13 5. Quali sono gli autovalori diQ? Es. 1Es. 2Es. 3Totale Algebra lineare e GeometriaSeconda Prova intermedia Ingegneria Matematica3 luglio 2012 Cognome:Nome:Matricola: Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessita, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. Tutte le risposte devono essere giusticate Esercizio 1 (Punti 18) SiaAla matrice2 44 2 0 2 32 02 23 5 (a) Si calcolino il determinante e la traccia diA. (b) Si determinino gli autovalori diAe si verichi che la loro somma e il loro prodotto coincidono con la traccia e il determinante rispettivamente. (c) Si determini una base ortonormale diR3 formata da autovettori diA. Esercizio 2(Punti 8) Si scriva una matrice ortogonaleQcondeterminante uguale a unoche diagonalizza la matriceAdell'esercizio precedente. Per il teorema di Eulero, la matriceQ rappresenta una rotazione dello spazio: determinare l'asse di rotazione e il coseno dell'angolo di rotazione. Esercizio 3(Punti 7) SiaQla matrice ortogonale dell'esercizio precedente. Si determini una matrice ortogonalePtale chePT QPsia della forma2 4cos( )sin() 0 sin() cos() 0 00 13 5. Quali sono gli autovalori diQ? Es. 1Es. 2Es. 3Totale Algebra lineare e GeometriaSeconda Prova intermedia Ingegneria Matematica3 luglio 2012 Cognome:Nome:Matricola: Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessita, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. Tutte le risposte devono essere giusticate Exercise 1 (18 points) Consider the matrixA=2 44 2 0 2 32 02 23 5 (a) Compute the trace and the determinant ofA. (b) Compute the eigenvalues ofAand verify that their sum and their product are respectively the trace and the determinant ofA. (c) Find an orthonormal basis ofR3 whose vectors are eigenvectors ofA. Exercise 2(8 points) Write an orthogonal matrixQwith determinant equal to onethat diagonalizes the matrixAof the previous exercise. By Euler's theorem, the matrixQrepresents a rotation ofR3 : compute the axis of rotation and the cosine of the angle of rotation. Exercise 3(7 points) LetQthe orthogonal matrix of the previous exercise. Find an orthogonal matrix Psuch thatPT QPhas the form2 4cos( )sin() 0 sin() cos() 0 00 13 5. What are the eigenvalues ofQ?