Mathematical Engineering - Algebra Lineare e Geometria

Second partial exam

Es. 1Es. 2Es. 3Totale Algebra lineare e GeometriaSeconda Prova intermedia Ingegneria Matematica30 giugno 2014 Cognome:Nome:Matricola: Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessita, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. Tutte le risposte devono essere giusticate 1. Si stabilisca per quali valori del parametro realekla matrice A=2 4 1k3 0 8 0 93 113 5 e diagonalizzabile. Per tali valori si trovi una matriceStale cheS 1 ASe una matrice diagonaleD, e si scriva la matriceD. SoluzionePer scrivere il polinomio caratteristico diA, conviene calcolare il determi- nante diAIcon lo sviluppo di Laplace rispetto alla seconda riga che contiene due zeri:       1 k3 0 80 93 11     = (8 ) ((1 +)(11) + 27) = (8)(2 10+16) =(8)2 (2) QuindiAha un autovalore doppio 1= 8 e uno semplice  2= 2, ed e diagonalizzabile se e solo se la molteplicita geometricag 8dell'autovalore doppio e uguale a 2. Ora g8= 3 r0 @2 4 9k3 0 0 0 93 33 51 A=8 > < > :2 se k=3; 1 sek̸ =3: La conclusione e cheAe diagonalizzabile se e solo sek=3. Postok=3, l'autospazio relativo a= 8 e il piano di equazione 3x+yz= 0. I due vettoriv 1= [1 ;3;0]T ev 2= [1 ;0;3]T formano una base di tale autospazio. L'autospazio relativo a= 2 ha equazionix+yz=y= 0, e quindi e la retta generata dav 3= [1 ;0;1]T . DettaSla matrice che ha per colonnev 1, v 2e v 3, D=S 1 AS=2 48 0 0 0 8 0 0 0 23 5 perchev 1e v 2sono autovettori di Arelativi all'autovalore 1= 8, e v 3e un autovettore relativo all'autovalore 2= 2. 2.Si considerino le forme quadratiche nella variabilix; y: q0( x; y) =x2 + 4xy+ 5y2 ; q(x; y) = 2x2 + 4xyy2 2.a) Mostrare cheq 0e denita positiva. 2.b) Riconoscere la conica di equazioneq(x; y) = 1 e determinare le equazioni degli assi di simmetria di tale conica. 2.c) Si determini una matricePtale che il cambiamento di variabili [x; y]T =P[X; Y]T diagonalizzi simultaneamente le forme quadraticheq 0( x; y) eq(x; y), eq 0( x; y) = X2 +Y2 . Si determinino, al variare di (x; y) inR2 n f(0;0)g, il valore massimo e il valore minimo del quoziente di Rayleigh R(x; y) =q (x; y) q0( x; y) SoluzioneLe matrici associate aq 0e q 1sono rispettivamente Le matrici associate alle due forme sono rispettivamente B=[ 1 2 2 5] eA=[ 2 2 21] Le forma quadraticaq 0( x; y) e denita positiva perche i suoi minori principali di nord- ovest sono positivi:jBj= 1>0 eb 11= 1 >0. Per riconoscere la conica di equazioneq(x; y) = 1, osserviamo che det(A) =24 = 6 jjb 1jj2b 1=2 6 6 41 1 2 03 7 7 53 32 6 6 41 0 1 13 7 7 5=2 6 6 40 1 1 13 7 7 5 QuindiP1=1 jjb 1jj2b 1bT 1+1 jjb 2jj2b 2bT 2=1 32 6 6 41 0 1 1 0 1 11 1 1 2 0 11 0 23 7 7 5; A= 3P 1=2 6 6 41 0 1 1 0 1 11 1 1 2 0 11 0 23 7 7 5 (controllo verosimiglianza risultato:Ae simmetrica,tr(A) = 6, e la somma degli autovalori diAe 0 + 0 + 3 + 3 = 6). Inne, per il teorema spettrale Ker(A) e il complemento ortogonale diV 3, quindi P2= IP 1=1 32 6 6 42 0 11 0 21 1 11 1 0 1 1 0 13 7 7 5 (controllo verosimiglianza: le prime due colonne sono, a meno del segno, la somma e la differenza delle ultime due, che sono indipendenti, quindiP 2ha rango 2, inoltre AP 2= O, quindi lo spazio colonna diP 2e proprio il nucleo di A).