Mathematical Engineering - Analisi Matematica III

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Prova scritta di ANALISI MATEMATICA III 6 luglio 2015 Cognome: Nome:Matricola: Prof. Gazzola Ing. Matematica Teor E1 E2 E3 E4TotaleI seguenti quesiti e il relativo svolgimento sono coperti da diritto d'autore; pertanto essi non possono essere sfruttati a ni commerciali o di pubblicazione editoriale. Ogni abuso sara perseguito a termini di legge dal titolare del diritto. c Tutte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, se necessario, sul retro. La brutta copia non deve essere consegnata. Ogni esercizio vale 7 punti, la domanda di teoria vale 4 punti. Domanda di teoria:Data la serie di Fourier a02 ++ 1 X n=1( a ncos nx+b nsin nx) : a)enunciare una condizione suciente sui coecientia ne b nanche la serie converga nei punti x k= 1+2 k, b)enunciare una condizione suciente sua ne b nanche la serie converga uniformemente su tutto R. Esercizio 1. Classicare le singolarita della funzione di variabile complessa f(z) =e 1 =(z1)z 2 (z2 + 4) e calcolare i residui in tali punti. Soluzione: Inz=2i, polo del primo'ordine con residui Res(f ;2i) =e (1+2i)=516 i ; Res(f ;2i) =e ( 1+2i)=516 i : Inz= 0 polo del second'ordine con residuo Res(f ;0) = lim z!0 e1 =(z1)z 2 + 4! 0 =14 e: Inz= 1 vi e una singolarita essenziale. La funzionefha all'innito uno zero del quart'ordine e dunque Res(f ;1) = 0; per il Teorema dei residui si ha quindi Res(f ;1) =Res(f ;2i)Res(f ;2i)Res(f ;0) =14 e sin(2 =5)8 e1 =5: Esercizio 2. Stabilire per quali valori dia2Re Laplace-trasformabile la funzionef a( x) =H(x)eax 2 +2x sin2 x. Calcolare poi la trasformata di Laplace dif 0. Soluzione: Deve esserea0; si ha poi f0( x) =H(x)e2 x1 cos 2x2 = )(Lf 0)( s) =12 1s 2 12 s 2( s2)2 + 4: Esercizio 3. Mostrare che, per ognin2N+ si ha xn ( n) = (1)n n!;inD0 : Soluzione : Possiamo procedere per induzione: la formula e vera pern= 1, infatti hx0 ; 'i=h0 ; x'i=h;[x']0 i=h;(x'0 +')i=h; 'i;8'2 D; supponiamo ora che la formula sia vera perngenerico, ossia hxn ( n) ; 'i= (1)n n!h; 'i;8'2 D; e mostriamo1 che allora si ricava l'equivalente pern+ 1: hxn +1 ( n+1) ; 'i=h( n+1) ;[xn +1 ']i=h( n) ;[xn +1 ']0 i=h( n) ;((n+ 1)xn '+xn +1 '0 )i =hxn ( n) ;((n+ 1)'+x'0 )iF =h(1)n n!;((n+ 1)'+x'0 )i = (1)n +1 (n+ 1)!h; 'i+ (1)n n!h; x'0 i= (1)n +1 (n+ 1)!h; 'i Esercizio 4. Calcolare la trasformata di Fourier della funzione f(x) =( 1 0< x