Mathematical Engineering - Analisi Matematica III

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Prova scritta di ANALISI MATEMATICA III 28 giugno 2016 Cognome: Nome:Matricola: Prof. Gazzola Ing. Matematica Teor E1 E2 E3 E4TotaleI seguenti quesiti e il relativo svolgimento sono coperti da diritto d'autore; pertanto essi non possono essere sfruttati a ni commerciali o di pubblicazione editoriale. Ogni abuso sara perseguito a termini di legge dal titolare del diritto. c Tutte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, se necessario, sul retro. La brutta copia non deve essere consegnata. Ogni esercizio vale 7 punti, la domanda di teoria vale 4 punti. Domanda di teoria:Spiegare cosa si intende per distribuzione, per distribuzione temperata, per conver- genza nel senso delle distribuzioni. Fornire un esempio di distribuzione che non e temperata. Esercizio 1. Calcolare la trasformata di Fourier della funzioneu(x) =2 cos x1 + x2. Soluzione: Riscrivendoucome u(x) =e ix +e ix1 + x2; e ricordando cheF 11 + x2 =ej j ; per le proprieta della trasformata di Fourier si ha F fu(x)g=F eix
11 + x2 +F e ix
11 + x2 =ej 1j +ej +1j : Esercizio 2. Siaula funzione denita q.o. da u(t) = 08t 1: (a) Disegnare il graco diusull'intervallo (1;3). (b) Dimostrare cheue Laplace trasformabile e determinare l'ascissa di convergenza. (c) Calcolare la trasformata di Laplace diu(si consiglia di scomporre l'integrale in una somma numerabile di integrali sugli intervalli (n; n+ 1) connintero). La soluzione trovata e analitica? Soluzione: (b)uha supporto in [0;1) ed e limitata, quindi Laplace-trasformabile; la sua ascissa di convergenza e a( u) = 0. (c) Seguendo il suggerimento, troviamo L u(t); s
=Z 1 0e st u(t)dt=1 X n=0Z n+1 ne st et n dt =1 X n=0e n" e(1 s)t1 s# n+1 n= e 1 s 11 s1 X n=0e sn =e 1 s 1(1 s)(1e s ); dove abbiamo usato una serie geometrica con ragione di modulo0, sia in base alla teoria sia perches= 1 e una singolarita eliminabile. Esercizio 3. Sia denita su [; ) la funzione f(x) =xxjxj e prolungata per 2-periodicita a tuttoR. (a) Disegnare il graco difsull'intervallo [2;2]. (b) Determinare le serie di Fourier associata afe studiarne la convergenza (puntuale, media quadratica, uniforme, totale). (c) Vericare che1 X n=1( 1)n +1(2 n1)3= 332 : Soluzione: (b) La funzionefe dispari (a meno di un insieme di misura nulla) e quindia n= 0 per ogninmentre bn=2 Z  0( xx2 ) sin(nx)dx=4 n 3 1(1)n : La serie di Fourier cercata e dunque f(x)8 1 X n=1sin[(2 n1)x](2 n1)3: Poiche1 X n=1j b nj