Mathematical Engineering - Analisi Matematica III

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Prova scritta di ANALISI MATEMATICA III 10 luglio 2019 Cognome: Nome: Matricola: Prof. Gazzola Ing. Matematica Teor E1 E2 E3 E4 TotaleI seguenti quesiti e il relativo svolgimento sono coperti da diritto d'autore; pertanto essi non possono essere sfruttati a ni commerciali o di pubblicazione editoriale. Ogni abuso sarà perseguito a termini di legge dal titolare del diritto. c Tutte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, se necessario, sul retro. La brutta copia non deve essere consegnata. Ogni esercizio vale 6 punti, la domanda di teoria vale 8 punti. Domanda di teoria.Denire le distribuzioni e le distribuzioni temperate. Denire poi le convergenze in questi spazi. Inne, denire la distribuzione v.p. 1x  . Esercizio 1.(2+1+3(1+2)) Si consideri la funzionef(x) =jsinxjperx2[0;2]. (i) Determinare la serie di Fourier associata af. (ii) Stabilire in che modo la serie di Fourier trovata converge af. (iii) Calcolare la somma delle due serie 1 X k=11(2 k1)(2k+ 1);1 X k=11(2 k1)2 (2k+ 1)2: Soluzione: (i) Si può considerare la funzionefristretta all'intervallo[0; ], estesa per parità, indi per2-periodicità. Pertanto,b n= 0 e an=2 Z  0sin xcosnx dx=1 Z  0 sin(n+ 1)xsin(n1)x dx=( 4 (1n2 )se nè pari 0senè dispari: Risulta dunque f(x)2 + 4 1 X k=1cos 2 kx1 4k2: (ii) Dato cheP nj a nj 0e perjz1j