Mathematical Engineering - Analisi Matematica III

Full exam

Prova scritta di ANALISI MATEMATICA III3 febbraio 2020 Cognome (stampatello)Nome Matricola Ingegneria Matematica | prof. GazzolaTest TeoriaEs.1Es.2 Totale c I seguenti quesiti e il relativo svolgimento sono coperti da diritto d'autore; pertanto essi non possono essere sfruttati a ni commerciali o di pubblicazione editoriale. Ogni abuso sara perseguito a termini di legge dal titolare del diritto. La prova scritta e formata da 3 parti: test, teoria e 2 esercizi: tutto deve essere svolto su questi fogli, nello spazio sotto il testo. La brutta copia non deve essere consegnata. TEST.Per ogni domanda ci sono 4 risposte possibili, una sola e corretta. Ogni risposta corretta vale 2 punti, ogni risposta sbagliata vale -1 punto, ogni risposta lasciata in bianco vale 0 punti. Se non si raggiunge almeno 10/16 in questa parte, l'esame risulta insuciente e il resto della prova scritta non verra corretto. 1.SiaH(x) la funzione di Heaviside, la distribuzione temperatautale che [xe x H(x)]u=e x H(x) e az u= 0+ 0 0bu = 0 0 0cu =0 0  0du = 0+ i0 0 2.Siaf(x) =+ 1 X n=11(2 n+ 4)4 =5sin(2 nx); allora. . . af e una funzione paribZ 8 0[ f(x)]2 dxnon convergecf e una funzione derivabile dz fe 1-periodica 3.La funzionef(z) =sin( z) Sh(z)z 2ha in z= 0. . . auna singolarita essenziale bun polo di ordine 2 cz una singolarita eliminabile dun polo di ordine 1 4.Un'armonica coniugata diu(x; y) =ey 3 3x2 y cos(x3 3xy2 ) e: av (x; y) =ey 3 3x2 y sin(x3 + 3xy2 )bv (x; y) =ey 3 3x2 y sin(3xy2 x3 ) cv (x; y) =ey 3 3x2 y sin(x3 3xy2 )dz v(x; y) =ey 3 3x2 y sin(x3 3xy2 ) 5.Data la successione di funzionif n( x) =n2 xe njxj , allora: af nL 2 (R) !0bz fnD 0 (R) !0cf nL 1 (R) !0df nL 1 (R) !0 6.Siab f() la trasformata di Fourier dif(x) =x sinx4 + x4, allora: ab f2 S(R)bz b f2 C1 (R)cb f62L2 (R)db fe dispari 7.Quale delle seguenti funzioni della variabilesnon ela trasformata di Laplace di una opportuna funzione Laplace-trasformabile? aF (s) =se 2s1 + s3bF (s) =s 2 + 3s+ 2s 5 + 5s3 + 4scF (s) =4p s 4 + 4dz F(s) =e Res 8.L'integraleZ jzj=2e izz 4 + 8z2 9dz vale: a 3 Sh(1) b 3 Sh(1) c 5 sin(1) dz 5 sin(1) Domanda di teoria (5 punti). Dare la denizione di funzione Laplace-trasformabile e della trasformata di Laplace; spiegare poi come si deve procedere per calcolare l'antitrasformata. Esercizio 1 (6 punti).Per ognib; R >0, calcolare l'integrale dif(z) =e z2 sul bordo del rettangolo b R= fz2C;jRe(z)j R;0Im(z)b=2g; percorso in senso antiorario. Calcolare poi l'integraleZ+1 1e x2 cos(bx)dx : Soluzione:Per il Teorema dell'integrale nullo di Cauchy, si ha 0 =Z @+ b Re z2 dz=Z R Re x2 dx+iZ b=2 0e (R+iy)2 dyZ R Re (x+ib=2)2 dxiZ b=2 0e (R+iy)2 dy ; da cui,ZR Re x2 dx+ 2e R2Z b=2 0e y 2 sin(2Ry)dy=eb 2 =4Z R Re x2 e ibx dx :() Osserviamo che    2 e R2Z b=2 0e y 2 sin(2Ry)dy     2e R2Z b=2 0e y 2 dybe R2 eb 2 =4 !0 perR! 1: Pertanto, passando al limite perR! 1nella (*), si ottiene p =Z +1 1e x2 dx=eb 2 =4Z +1 1e x2 cos(bx)isin(bx)
dx : Prendendo la parte reale, risulta dunqueZ+1 1e x2 cos(bx)dx=pe b2 =4 : Esercizio 2 (6 punti).Si consideri l'equazione e x2 =Z +1 1e j xyj (y)dy(x2R): (a)Determinare la trasformata di Fourier di. (b)Senza calcolare, dimostrare che2 S(R) (a decrescita rapida). (c)Calcolare eettivamente. Soluzione:(a)L'equazione si riscrivee x2 =ej xj : trasformandola, si ha pe 2 =4 =2 b ()1 + 2= )b () =p 2 (1 + 2 )e 2 =4 : (b)Si han b ()2L1 (R) per ognin, quindi2C1 (R). Inoltre,b 2C1 (R) e tutte le sue derivate stanno inL1 (R) perche sono del tipoP()e 2 =4 conPpolinomio. Pertanto,2 S(R). (c)Ricordando le proprieta della trasformata di Fourier, si trova (x) =F 1 b (); x
=12 e x2 12 d 2dx 2e x2 = 32 2x2 e x2 :