Mathematical Engineering - Analisi Matematica III

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Prova scritta di ANALISI MATEMATICA III 13 giugno 2019 Cognome: Nome: Matricola: Prof. Gazzola Ing. Matematica Teor E1 E2 E3 E4 TotaleI seguenti quesiti e il relativo svolgimento sono coperti da diritto d'autore; pertanto essi non possono essere sfruttati a ni commerciali o di pubblicazione editoriale. Ogni abuso sarà perseguito a termini di legge dal titolare del diritto. c Tutte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, se necessario, sul retro. La brutta copia non deve essere consegnata. Ogni esercizio vale 6 punti, la domanda di teoria vale 8 punti. Domanda di teoria.Denire cosa si intende per funzione Laplace-trasformabile e per trasformata di Laplace; enunciare e dimostrare il risultato sulla trasformata di una convoluzione. Esercizio 1. (2+2+2) Si consideri la funzionef(x) = (1;1)( x)
jxj(funzione caratteristica). (i) Calcolare la trasformata di Fourier dif. (ii) Calcolare la derivata difnel senso delle distribuzioni; è una distribuzione temperata? (iii) Calcolare la trasformata di Fourier dif0 . Soluzione: (i) Per parità difrisulta ^ f() =Z 1 1j xje ix dx= 2Z 1 0x cos(x) = 2 sin + cos 1 2 : (ii) Si haf0 = x=1  x=1+xj xj (1;1)( x). Il supporto dif0 è[1;1](compatto) e quindif0 è temperata. (iii) Si può ottenere sia direttamente, sia usando la regola della trasformata di una derivata: F(f0 (x); ) =ei e i + 2icos 1 = 2 i sin+cos 1  : Esercizio 2. (2+1+1+2) Si consideri la funzione di variabile complessa f(z) =z1 cosz: a) Classicare tutte le singolarità dife determinarne i residui. b) Detta la circonferenza di rappresentazione parametricar(t) =i+eit (0t2), calcolareR f . c) Considerandofcome funzione di variabile reale,f=f(x)conx2R, stabilire sef2L1 loc( 1;1). d) Mostrare che v.p.(f(x))può essere denito come una distribuzione inD0 (2;2)
. Soluzione: a) La funzione1coszsi annulla del second'ordine nei puntiz k= 2 k; pertanto,z k è un polo del second'ordine con residuo nullo sek6 = 0, mentrez 0è un polo del prim'ordine con residuo 2. L'innito è punto di accumulazione di poli. b) La funzionefè olomorfa all'interno di , dunqueR f = 0. c) Dato chefè innita del prim'ordine inx= 0, si haf62L1 loc( 1;1). d) Dato chefè dispari, si può procedere come per la funzione1=x. Per ogni" >0, sia "( x) = 1sex2(1;")[(";1) 0sex2["; "]: Sia'2 D (2;2)
e sia0< R