Mathematical Engineering - Analisi Matematica III

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Prova scritta di ANALISI MATEMATICA III 23 luglio 2015 Cognome: Nome:Matricola: Prof. Gazzola Ing. Matematica Teor E1 E2 E3 E4TotaleI seguenti quesiti e il relativo svolgimento sono coperti da diritto d'autore; pertanto essi non possono essere sfruttati a ni commerciali o di pubblicazione editoriale. Ogni abuso sara perseguito a termini di legge dal titolare del diritto. c Tutte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, se necessario, sul retro. La brutta copia non deve essere consegnata. Ogni esercizio vale 7 punti, la domanda di teoria vale 4 punti. Domanda di teoria:Enunciare e dimostrare il Teorema di Plancherel per la trasformata di Fourier. Esercizio 1. Si consideri la funzione denita daf(x) =x3 perx2(1;1) e prolungata a tuttoRcon periodicita 2: disegnare il graco difsull'intervallo (2;2). Determinare la serie di Fourier dife il suo limite puntuale; stabilire poi se la serie converge in media quadratica e/o uniformemente. Soluzione: Serie di soli seni con coecienti 1 X n=12( 1)nn  6n 2 2 1 sin(nx): La serie converge puntualmente af(x) sex6 = 2k+ 1 conk2e converge a 0 sex= 2k+ 1. Per la discontinuita difla convergenza non puo essere uniforme. Dato cheR 1 1f2