Mathematical Engineering - Analisi Matematica III

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Prova scritta di ANALISI MATEMATICA III 28 agosto 2018 Cognome: Nome:Matricola: Prof. Gazzola Ing. Matematica Teor E1 E2 E3 E4TotaleI seguenti quesiti e il relativo svolgimento sono coperti da diritto d'autore; pertanto essi non possono essere sfruttati a ni commerciali o di pubblicazione editoriale. Ogni abuso sara perseguito a termini di legge dal titolare del diritto. c Tutte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, se necessario, sul retro. La brutta copia non deve essere consegnata. Ogni esercizio vale 7 punti, la domanda di teoria vale 4 punti. Domanda di teoria:Denire (bene!) cosa si intende per funzione Laplace-trasformabile e dare la denizione di trasformata di Laplace. Fornire poi un esempio di funzione che non sia Laplace-trasformabile. Esercizio 1. a) Postok2N +, classicare le singolarita di fk( z) =e kzz k; e calcolarer k= Res ff k; z = 0g; b) siag(z) la funzione olomorfa il cui sviluppo in serie, centrato nell'origine, e g(z) =+ 1 X k=1r kzk ; stabilire la distanza dall'origine della singolarita digpiu prossima az= 0. Soluzione: a) Dallo sviluppo dif k: fk( z) =+ 1 X n=0k nn !z n k ; abbiamo chez= 0 e un polo di ordinek, mentre il punto all'innito e una singolarita essenziale; inoltre, poiche il coeciente diz 1 si ottiene pern=k1, abbiamo rk= Res ff k; z = 0g=k k 1( k1)!= k kk !; b) il raggio di convergenza della serie di potenze+1 X k=1k kk !z k e il reciproco dilim k!+1r k+1r k= e; dunque la funzioneg(z) ha una singolarita sulla cirfconferenzajzj=1e . Esercizio 2. a) Scrivere la serie di Fourier associata alla funzione dispari, 2 -periodica, tale chef(x) =x(x); b) determinare le soluzioniu2L1 (R) di u00 4u=f(x): Soluzione: a) I coecientia nsono nulli, mentre bn=2 Z  0x (x) sinnx dx=4n 3 1(1)n
; dunque, osservato che i coecienti di indice pari sono nulli, f(x) =+ 1 X k=0g k( x) =+ 1 X k=08 (2k+ 1)3sin[(2 k+ 1)x]; b) poiche la forzante e espressa in forma di serie di funzioni, usiamo { formalmente { il principiodi sovrapposizione: l'integrale particolare corrispondente ag ke uk( x) =8 (2k+ 1)3 [4 + (2k+ 1)2 ]sin[(2 k+ 1)x]; osserviamo che la serie delleu kconverge uniformemente (cos come anche le serie di u0 ke u00 k), dunque per il teorema di derivazione per serie si ha che u =P uke eettivamente soluzione dell'equazione; l'integrale generale e allora u(x) =H e2 x +K e 2x ++ 1 X k=08 (2k+ 1)3 [4 + (2k+ 1)2 ]sin[(2 k+ 1)x]; le soluzioni essenzialmente limitate suRsi hanno seH=K= 0, dunque la solau . Esercizio 3. Sia >0 un valore ssato, data la successione di funzioni fn;( x) =np1 njxj [1n ;1n ]( x); a) determinarne il limite puntualeF(x); b) stabilire al variare disef n;! FinLp (R); c) sia= 1, calcolare limf n;1in D0 (R) Soluzione: a) Poiche, per ogni >0 lim n!+1f n;( x) =( +1x= 0 0x6 = 0; concludiamo che per ogni >0 la successionef n;tende puntualmente quasi ovunque alla funzioneF(x)0; b) si ha perp2[1;+1) kf n; Fkp Lp (R)= kf n;kp Lp (R)= 2 npZ 1=n 0(1 nx)p= 2 dx= 2np
2n (p+ 2)= 4p + 2n p 1 ; pertantof n;L p (R) !Fse e solo se 0<  0, osserviamo che g(z) =e ixz(1 + z2 )2=e ixz( zi)2 (z+i)2; la funzionegha due poli del secondo ordine inz=i, e Resfg(z); z=ig=ddz e ixz( z+i)2    z=i= ix + 14 e x ; pertanto, perx >0 si ha u(x) =12 Z +1 1e ix 1(1 + 2 )2d =i ix + 14 e x =x + 14 e x ; per parita perx 0: Esercizio 11. Si consideri la successione di funzioni denite da fn( x) =8 < :1 se x= 0 ex 1x se 0 1 si ha rispettivamente: f0( z) =1z 2 (z2 + 1); f 1( z) =1( z2 + 1)2; f n( z) =1( z2 +n2 )(z2 + 1); dunque:sen= 0, l'origine e un polo di ordine 2,z=isono entrambi poli del primo ordine, sen= 1,z=isono entrambi poli di ordine 2, sen >1,z=iez=insono quattro poli del primo ordine; b) per n >1 si ha Resff n; z =ig= i2 n2 2; Resff n; z =nig= in (22n2 ); osservato chef n( z) e innitesima di ordine 4 perjzj !+1e quindi l'integrale proposto si puo calcolare usando la teoria dei residui: Z R1x 4 + (n2 + 1)x2 +n2dx = 2i(Resff n; z =ig+ Resff n; z =nig) =n 2 +n; pertantolim n!1n 2Z R1x 4 + (n2 + 1)x2 +n2dx =: