Mathematical Engineering - Analisi Matematica III

Analisi complessa

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Insieme Aperto Sia A 4 Aperto se Hea trio te Brizoica Punto di accumulazione Zo punto di accumulazione per Ee 4 se trio Brito contiene almeno un punto di Zee Zeza insieme chiuso c è un insieme chiuso se contiene tutti i suoi punti di accumulazione successione convergente Diremo che tu non CI converge a Zoe 4 se teso Ino noce EN te Izu Z E tu no FUNZIONE CONTINUA f As 4 se e cantina im Zo EA se teso IS S E20 io te 1817 fito E tze Bg Zaira Derivabile Sia fiacca 4 e sia zoea diremo che f e derivabile into se esiste finito lim p fitoth fin f L a DIFFERENZIABILE Sia fac 4 f e differentiable in Zoea se 72 4 tale che flzothl.fm 2h toilet ha had FUNZIONE OLOMORFA Sia f Ae 4 4 si dice domorfe in A se e derivabile Hea Si dice localmente donorge in zo se I m intorno dove f e derivabile teorema di Cauchy Riemman Sia f Ae 4 allore fette fiuixisltivcx.gl è friabile in Eo EA se e solo se Mi sono differenziabili in IX yo e xo.ge g 10.90 gg xo go I 10.90 Jim 1 f derivabile hah tib Culto h yo ha ucxo.no i vixothi goth ix ilo datidallhitili oth ha io h hr deh tidal ti had dale Mixo the yo ha ucxo.ge deh dhe di da the hits rith ha To t h Gotha tono 22h had c da 2 Ih hai occhi ha da cui un differenziabili im Ya y o e a ay 5 3 un tiff in Xo yo e CR flz.tl fito tu notti r a I la di Ih hai il di di hihi o h h is Chili I LÌ I Eh ha i i I I I Eh ha h d di Lil Ih idif ti dite a aihiih.it gia di Iridi di ridi h il och ah o h dunque f e tferenziabile SERIE di Potenze II an Izzo si dice serie di polente di centro 20 e 4 e coefficienti Un EG NEIN teorema Sia di lime Un e 0,00 alla posta R V2 avevo i la serie nein an z zo converge assolutamente Hz ELo CR in le serie nein an z zo non converge Hz It Zohar Jim i Sia 20 0 per semplicità Sia 2 12 R alla Age 10,1 e MEIN te una è Ian Izierlinian Izi e i a R eleando alla n Ian 121 9 q con lyla e il termine generale ti me saie convergente dunque Lian 171 converge ii se 171 r 74 h a nein te Ian 1217971 dunque Ian 171 191 dove la si quindi esiste ne sottoruccessione della serie che diverge LA SERIE NON CONVERGE Cerchio di conergente Sia Tr Izo te 4 7 20 ER si tira cerchio di conangente della serie nein Un 720 con raggio ticonvergente R VRIR la serie converge totalmente rt dimostrazione torna quinti uniformemente in IZ.to cR Coronario Una serie di potenze converge totalmente e miformemente in qualinge insieme E contenuto in trito te Éctrizo din per il criterio di WeinstraB Se fa p Art Cir e Efeso Convergente uniforme etotale ap Id 2 I del R D ZE 4 12 E R E latini II la R IZI Izik Con R'calar da Z CM perche le serie converge ME È É torna Una serie di potente E alt to di raggio Rio he are Sonne ne funzione cantina e possino scrive fitta ii an zzo tze It Zohar teoria Le somme fin di una serie di potente In ante to tiraggio R olomorfe in Iz zack e inoltre L'A ni nanlz.mn NB L 12 In f anz teorema Sia g a b IR derivare se Jae 4 aperto tale che ab ca ed esiste f A 4 e fritta tale che la restrizione di farla b coincide con g allore f e mica CURVA l'A Tr a n i r ab 4 e l a tratti se e cantine in ab ed esiste Ito tu cla.li te tora e tu b tj ictjj i.li e r e l ftp tjl J i k Itj.i.t Curve EQUIVALENTI vi re e l a tratti sono Guidati se Il biettive strettamente crescente 9 Dan ra Domini te i 9,4 el'atretti Ii Va Vi 04 CAMMINO ORIENTATO in cammino orientato e me coppie 8 Ir dove si e il sostegno di r e Sr è la dose di funzioni l atratti equivalenti ar CIRCUITO cammino inverso Sia C 1 r in cammino di 4 allora a C e chiuso real rib C e detto circuito ii C è il cammino inverso Iii Se te la b detti Ca C i cammini parametrizzati da M ad Ma M gg allora c c a Liv C e un cammino semplice se non ha autointersioni INSIEME CONNESSO Sia A si dice connesso se non esistono A Arca con vuoti tali che A A va Annate d A hai 0 A OMOTOPO A OMOTOPIA Sia Ae 4 e siano G a circuiti in A Diciamo A omotopia ne funtore H ta b xtopi A cantine tale che i the to 1 Al.it e la parenetizzatione di un circuito di A Iii Al io Ht 1 sono parametrizzazioni di Ca Ca rispettivamente graficamente i INSIEME SEMPLICEMENTE CONNESSO A e C e semplicemente connesso se teca circuito è A omotopo a un punto di A INTEGRALE CURVILINEO Di I Specie Sia C 1,341 cammino di 4 f 8 4 continua allora la fizidz.la flmetitricidt FORME DIFFERENZIALI ASSOCIATE Sia f A e 4 4 continua e siamo in.nl u Ref vii Inf Allore le forme differenziali mdx Vay nay rtx si dicono forme differential andiate ritlexitttigiti NI I fiati if Miti M'A It è culx it yet ivcxctl.ge ti x'it tight tt Si mlxttl.gl x'Itltt.j xitl yitlly'ltltt i la vixit yeti x t tt fulxitlyally'ltidt li usx ivdyeilivdx.ci abudy teorema fAe 4 4 è olomorfa se e solo se le forme differential anocide sono chiuse e tifferentiabili Jim I differenziabile in zo e un diff in ix yo nIglio go aglio 90 n aglio yo 14,901 f olomorfe a f differentiable teca e mi diff im A n agi x y oggi xy Ig Xy 2 xy Hx yea e mi sono chiuse da PRIMITIVA Diremo che F Acta 4 e le primitive ti f se Fè olomorfe e t'Cz 1171 Hea NE Fife 4 4 F le funzioni associate UN Uy Vx t'iI Vingitiving n II Y mai ovvero TU n v1 TV via perciò le forre differential andiate afreno esatte in Sia fiata 4 cantina ha primitive Fin A se esolo se le se forme differenziali associate sono esatte tim fa fizidz.la flritiiriaitt.lu t'imiti M'a tt Fib Fiat Flat Fin Sia Fiz È finita Firth Fiz È tutta_È finita È finita finita 1 finita parametizziano con riti 2 th con te to.nl l'flztthll.tt di Fath Fiz e figli fittthldt fin Filzi fin h teorema Se fa ca 4 cantine ha primitiva in A allore fa domorfe teorema Sia fA c 4 cantine e olomorfe in A se e solo se KZEA trio BRIZICA tale che f ha primitive in Baia TEOREMA Sia fA c4 4 A semplicemente commesso f olomorfa in A se e solo se f ha primitive in A teorema Se f Ast 4 continue he ne primitive in A allore le falde o te ca circuito Inoltre fissato zoea Fiz zo z fluttui dove t.it è un Cammino di A di estremi 20 ez equivalentemente TEOREMA Sia f As E continua A semplicemente connesso allora FAE a FF A 4 FILZI IHI 2 F olomorfe in A 3 ndx vdyendy.int sono esatte TEOREMA Sia Rea aperto finna continue trae 1 Io first dipende solo dagli esteri ti si 2 HO chiuse e l atretti con vita b er si ha che la flat O 3 Ife l a nata F p fontina ZF e a.name fftuidw o Sfinita dipende solo dagli estremi aeafizi.lcz.it l IIIIniape I continua IF olomorfe fontina donate A semplicemente connesso HetBrizicati II L quelle trovate teorema integrale nullo ti Cauchy Sia f Ac 4 donorge se A è semplimente commesso allore Se flzitzco Acca c circuito Jim sotto le Itp mire l L' t i d t lcadx vgy.si ugyavg sono chiuse perche fotomor fe Dato che A semplicemente connesso sono esatte L' i n t e g r a l e di me forme differenziale a un circuito è nullo FUNZIONI ANALITICHE f Ae 4 4 è analitica se tzea Isso tale che Baltica ed 7 me serie di potente di centro O che comense a fittili the 4 Illis TEOREMA Se f Ae 4 4 è analitica in A allore è donarle in A FORMULA DI CAUCHY Asemplicemente connesso Sia f As 4 olomorfe in A se Brito A alla Htt Brito risulta fitte fanno Li tu Critoriabrito Jim finiamo ze A Definiamo ne circonferente centrate in 7 tiraggio f tp.zxpeit te lo.lt I II tw il f tt il fitepeitlttfitpeitlfai.sn per la cantinite di g il fizidttijjruldt.int fit teorema di Weierstrup Se f Ae fa 4 e donarge in A alla f e analitica in A quindi Izo EA e Britos CA vole lo sviluppo fizi.tn cult zo dare Cui ferito Iljia di Jim Sia Zoea e Rso tale che Brito CA panino le z zo dal 7 è finito con och MCR fin I Ii calza w zo.edu osservo che ato e La Ia e E E chi L h Lu zo mi fai fa fa tu cnn.nl tu a zo l Elenco È 8 è vero L tl SINGOLARITÀ ISOLATA f Ast 4 felt A1210 diremo che 20 è una singolarità indete ti f SERIE DI Laurent i anni ÈÈ convergente R p Yr I O'Repco serie bilatera non converge Il OCR p O la serie bilatera se Izzo IR a 17 tot P con si pò dire nulla II o sporco allora la serie bilatera concerge in Arp Zo te 4 pc z zo er campo di convergenza ivi la convergente e assolta e uniforme teorema Sia f damage in una corona circolare ftp.rlzo allora f è la somma di una serie blatere di patente centrate in to fit Ei 0 7to dove an Ii fugga tu ne Circonferenze in Apia zo e contenente zo al suo intero SINGOLARITÀ Sia finita e 4 1 E olomorfe alla zo è detta singolarità eliminabile se f è la restritione di me funzione olomorfe in A Singolarità polare se figo fiato singolarità Essenziale se non si verificano le prime due Eliminabile se f è localmente limitate Zo singolarità isolata poco se l Essenziale È fitta se figlia II A m o Tm z Zo Eliminabile I A un numero finito con nullo di auto zo polo II Iinfiniti a m con nulli Zo Essenziale teorema Sia A me circonferente interne a Brito contenente z0 Allore fa finta a i Jim integrale L' H d z Janizzong e serie e Inez pan zzo te sit 701 de o perché inoltre la It 701 de o the poiche te l Ho iI Iene le tesi e ponendo fitti 0 riflette De l 120 II ftp.t contro e fai si ottiene E lo È tt I É Ziti Quindi Infatti a i aLodz a ilati Residuo di si dice merito integrale di f into e si indica con Restfito Residuo All'Infinito mi si dice resito integrale di f all 00 e si indica con Res fin TEOREMA DEI RESIDUI VI Siano 37 zu n punti appartenenti ad A sia f Aca 4 felt Alle Zu Sto Zu h singolarità isolate Se 1 e un circuito in A contenente tutte le singolarità allore la fiati atti j Resifizi TEOREMA DEI Residui v2 Sia f olomorfa in un aperto A esterno a un circuito semplice si e continua in A trarne al più un numero finito di punti singolari 371 2mg allora insieme aperto/chiuso, punto di accumulazione, funzione continua, derivabile, di fferenziabile, condizioni di CR*, funzione olomorfa, serie di potenze in C, convergenza serie potenze*, disco di convergenza, convergenza totale serie di potenze*, derivata serie di potenze, esistenza e unicità del prolungamento, curva in C continua a tratti, curve equivalenti, cammino orientato, circuito, cammino inverso, A omotopia, insieme semplicemente connesso, insieme stellato, integrale curvilineo di seconda specie, forme di fferenziali associate, se f olomorfa le forme di ff sono..., primitiva, teorema primitiva, teorema integrale nullo di cauchy, funzioni analitiche, formule di cauchy, teorema di weistrass, singolarità isolata, serie bilatera, teorema convergenza serie bilatera, singolarità classi ficazione, residuo, residuo all'in finito, teorema dei residui, principio di identità delle funzioni analitiche, unicità del prolungamento analatico, lemma di jordan lo fatte Ziti TÈ Res fit Restfiod CORONARIO Se f 4 è domorfe in 4 tranne al più in un numero finito di singolarità allora la somma totale dei residui è nulla Jim considero 8 curva che contiene al suo interno 321 Zu parametrizzata da r 10,21T 4 riti Reit Ir faite If Reit iteittte tInezanpieintrieitjt iInezanpna ÈèÌÈ zia Hires fio inoltre per teorema dei Residui faide Ziti Re fizir Da cui Ei Res fitnl Reslf.ro O teorema Principio Di Identità Delle Funzioni Analitiche Sia fiacca 4 A aperto connesso se f olomorfe detto zig l'insieme degli zeri di f si ha che f e identicamente nulla oppure Zef non ha punti di accumulazione RI Xo punto di accumulazione pera se teso tytx.ca te gebe Xo teorema unicità Del Prolungamento Analitico Sia f Scacci E A aperto connesso doe She un punto di accumulazione in A se esiste f A a olomorfa e tale che Is fa allora è unica Jim Per assurdo se g e un'atra estensione olomorfa in A ti fa cioè g L allora g fio su S perché She punto di accumulazione in A e S 2 g f insieme degli zeri e g f olomorfe per principio d identità delle funzioni analitiche g fin A LEMMA DI JORDAN Siano Riuso e sia p I 10,001 I o.tt l atratti Sia Cr il cammino parametrizzata da Malt Rett e te I e sia f continua su Tr Im rr allore fare fatte e G sup zag 111711 don Cx con dipende tap Jim NB M'risupirittll me inf Irriti Mr see IMelt EI alzi aretz per semplicità Rai la eiutfiate 1 è finiti ritti tt e l e finiti ritti tt e M M patiens'tilosttisint mm li giupiticost wpiasint Ma Milt eup sinty pit em pitte m e Man È e It Notiamo che i sint Sint Et teto.tk mani e Steam.mil è se 2mm è amami è 1 ftp ITIM IMM I um wm.tt Iii M ch p fin wm Se avessi auto R 1 MR Rm M'R RMI quinti Che IIII dunque non dipende da w