Mathematical Engineering - Meccanica razionale e dei continui

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• POLITECNICO MILAN01863 Fondamenti di Automatica (cod. 085905) Corso di Laurea in Ingegneria Informatica e Comunicazioni Alunni iscritti da PJ a ZZ Prof. Lorenzo Fagiano Anno Accademico 2018-2019 Esercitazione tipo esame del 6 giugno 2019 NOME COGNOME NOME MATRICOLA MATRICOLA FIRMA • Presentare un documento d'identità valido munito di foto. • Consegnare esclusivamente il presente fascicolo. • • Utilizzare, per lo svolgimento de gli esercizi, i fogli bianchi forniti in fondo a questo fascicolo. • Non si possono consultare libri, appunti, dispense, ecc. • Si raccomandano chiarezz a, precisione e concisione nelle rispos te. 1. Si considerino due sistemi, A e B, interconnessi come rappresentato nella seguente figura: dove: u A B {x A,1 (t) = (at -1)xA ,1( t) + xA ,2(t)(1- {JxA ,2(t)) A: xA z(t) = u(t) y(t) = -O .SxA, 1(t) B: {xa , 1 (t) = -yx 8, 1 (t) + y(t) u(t) = x8, 1 (t) 1.a) Si consideri solo il sistema A, con a = 1, fJ = 1. Rispondere alle seguenti domande, motivando brevemente ma in modo esauriente la risposta: • il sistema è lineare? • il sistema è stazionario? • il sistema è di ordine 3? • il sistema è strettamente proprio? 1.b) Si consideri solo il sistema B. Calcolare i modi del sistema in funzione del parametro y E JR. 1.c) Si consideri solo il sistema A, con a = O, /J = 1. Calcolare gli equilibri del sistema (x, u) tali che xA,i = -2. 1.d} Si consideri solo il sistema A, con a = O, f3 = 1. Ricavare le equazioni del sistema linea rizzato attorno ad un generico punto di equilibrio (x, u). 1.e) Si consideri ora il sistema complessivo dato dall'interconnessione di A e B, come rappresentato in figura. Siano a = O, f3 = O. Scrivere le equazioni di stato del sistema complessivo nella forma x(t) = Ax(t). 1.f) Con riferimento al punto 1.e), dire per quali valori di y il sistema complessivo è asintoticamente stabile. 2. Si considerino le seguenti funzioni di trasferimento di sistemi dinamici completamente osservabili e raggiungibili: 2(s + 2) 2 Gi(s) = (s + l)(s 2 + 0.8s + 4); 16(s + 0.5) G (s)--------2 - (s + l)(s 2 + 0.8s + 4) 16 G3(s) = (sZ + 4s + 4); -16(s -0.5) G (s) - -------- 4 - (O.ls + 1)(s 2 + 0.8s + 4) 2.a) Abbinare, motivando i criteri di scelta, ciascuna funzione di trasferimento al corrispondente grafico della risposta del sistema allo scalino unitario: Il 5 3 4 2.5 2 3 / - / ~ 1.5 -;;::: I 2 0.5 o o o 2 3 4 o 5 10 15 t lii IV 6 5 4 4 2 I 3 2o - >, ;;::: 2 -2 -4 -6 o o 5 10 15 o 5 10 15 t 2.b) Si consideri il sistema con funzione di trasferimento G 3(s). Tracciare i diagrammi asintotici di Bode della relativa funzione di risposta in frequenza. Valutare il modulo della funzione di risposta in frequenza per w = 2 e indicarlo sul diagramma. /ul6 ~,i+------.!,-----.! ----.-!-.!---.! ---.:---. !---.-!~ :-------.!--~:,----..-~!,-~!...,..!---.-! ~!---.-l----~!,-----.-!-...,..:-·:---.!---.: ---.:...,..!'I----...,..!--~!----.:-~!-~:...,..:..,.. :~:~ i~ ----- +- -- ~- -+-~- ~-+~~ ------~-À-~.:b+-:-.:-~~ -i---- ~- :---~--~- ~~ -~~+ +- ---- ~---.:--~- -~+ -:-~~ : : : : : : : : I : ~ A'Jft}: : : : : I : : : ! : : : : I : : : : : : : : -- ---+-- -:- -~--:- ~ ..!- :-~- -- - --!-- ~- -!..-!-:-.!--l-: ~--- ---:- --~--:- -~ -:-:--!.-!-t- -----:- --.!.-~--~ -!.-:-:...~ I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I t I I I I I I I I I I I I 1 I I I I I I I I I : : : : : : : ! : : : : : : : : ! : : : : : : : : -- ~--+--- :---+- =f=}-~~-- --- , --:- -T--t-:-T-t-t ,--- ---:- ---t--:-- !--l -:-+ + T- ---- ~ - - -+ --! --~ -t-:-t-t- : : : : : : : : I ...... -......... I I I I I I I • I I I I I I I I I I I I I I I I I ------!----~- ~- ~-~ ~~------~~- I -t- J-i-t~~ _l ______ :---~--~-l~-~lll ----- ~- -- L- -!-- ~~J -~L- 1 I I I I I I I I I "'I I I I I I I I I I I I I I I I I I 1 I I I I I I : : : : : : ::; : •~ I : : : :: ; : : : : : : ::j : : ; : : : :: -----7--- ~-~-~-~~~~------~--~- ,l-~~T~~~--- --- :--- ~--~-~~-~77T-----~---7-~--~~~-~~ : : I : : : : : ! 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I I I I I l I I t I I I I I I I I I I I I I I l I I I I I I I I I f"'-...!.. I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I 1------: ---:-- :- :-: :-:-:~------ -- :--: -.~ : : : : ------:--- :--: -t--i-: +: +----- :--- :- :--~ :-:-: : i' : : : : : : : : I : i~ h - :,_ : : : : : : I I : : I I A t10 • • , • • • • • • I • • • , --' .-J-. L-1-...Ll..' • , -. -, ~ .. I---- ---+- - ---- -- -- I--+- ---1-1 -1- ------.i--------- ·, ...... -...... ---- ..... ...::=:a;;;;;.;;;;;;.;;;;;;...;;;;;;;;::;;a;;-;-----..---;.......;_..;..\ ..;....;....;...;..1 : : : : : : : : I : : : I : : : : I I I I I I I I 1-- ---- : ---: -:-:-: : - :-: ;-- ---- +--- :-- : -: -:-: : : i------:- -- :--~-: -{-;-: : t----- :-- -: - :--: : -:-: t- : : : : : : : : ; : : : : : : : : i : : : : : : ! ! ; : ! : : : : : : 1---- --- -r-------- -,-,... ..... -,- ,-i---- --T"'-- --,- -.,----,-~-,..., -;------ -- ---r--.- -t-_, __ ""T" àf""1'- -- --- """'1 --- .,..---,- -....- "'T-J -T'""l""" : : : : : : : : l : : : : : : : : ! : : : : : : : : ! : : : : : : : : I I I I I I I I I I I I I I I I I I I 1 (b o ~·A 4 4e 1~ 1o (IJ;) 2.c) Si consideri il sistema con funzione di tra sferime nto G3 (s) inserito nel seg uente schema di controllo in retr oazione, con k E IRL Si valuti l'applicabilità del criterio di Bode { si indichi il m assi mo valore di k tale ch e il s ist ema sia asintoticamente stabile. "GM k. { k y Zo 2.d) Con riferimento al punto 2.c), sia k = 0.5. Tracciare i diagrammi di Bode asintotici della funzione di risposta in frequenza associata alla funzione di tra sferimento di anello. Valutare la pulsazione critica effettiva. Infine tracciare l'andamento qualitativo di y(t) in risposta al segnale u(t) = -2 sca(t) e con condizioni iniziali nulle. : : : : I : l : : : i l :, : : ! : : : : I I I : : : : : I I I I : : : : : I I I I I : I : : I I I : I : : : : -----T -- -r-"T --,-r ,-,-1,------, ---, --r- ,-r-r,, -r- ---- -,---r--r-r, -rTTT--- ---,-- -,--,--,,, -r r : : : : : : : : I : : : : : : : : l : : : : : : : : I : : : : : : : : -----.!-- --~-~-...! -~ ..i-:-~- --- -- !----! --.!.-~-:-!.-!-! .l. _ ___ --:- --...!.--~ - !--!-~.!. .i.L- ---- -!- -- .!.--!- -!..--:.-:-~!- I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I : : : : : : : : ! : : : : : : : : ! : : : : : : : : ! : : : : : : ! : -----+- -- ~ -f- ~ -J-f-:-f-i- --- --{---- ~- -t-f-:-f--t-t -r --- ---:- --'"7- -:- -t-~-~f tT- ---- -1-- -f---l- -r -t-:- t-t- ' I I I I I I I o I I I I I I I I I I I I I I I I I I I __ -se_ -- ~- -t- l-!-t ~ ~ 1 ____ __ :_ --~- -~- ~~-~~ ~l- ---- ~-- -.:-- ~--~ l-l-L ~ I --;-~;~ ... ~T~---- -, I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I t I I I I / t I I I I I --- J I I I I I 1 I I I I I I I I I I I I I I I I I I I _____ l _ --~ _ _:__J _ L..!. _J_J~- __ ~~ -- ' __ l. _J.._J_ l. 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I I I I I I I I I I I I I j I I I I I I I I I I I I I I I ij.1 4:. 10 -'(Q, 1~ 2.e) Con riferimento al punto 2.d), dire qual è il massimo va lor e di ritardo r in uscita dal blocco k tale che il sis tema in anello chiuso sia asintoticamen te stabile. 2.f) Con riferimento al punto 2.d), scrivere il valore di y(t) a trans itorio esaurito a fronte dei segu enti segnali di ingre sso: • • u(t) d(t) 5 sin (0 .00 2t) sca(t) 10 cos(200t) sca(t) 3. Si consideri un sistema dinamico di ordine 2 con la seguente funzione di trasferimento: (s - 1) G(s) = (s + S)(s + SO) Il sistema è inserito nel seguente schema di controllo con retroazione dell'uscita: n d R(s) u G(s) y 3.a) Tracciare sui diagrammi di Bode i vincoli su modulo e fase della funzione di risposta armonica associata alla funzione di trasferimento di anello L(s) = R(s)G(s), derivanti dalle seguenti specifiche: • le00I ::;; 0.1 con w(t) = ram(t) e d(t) = sca(t) contemporaneamente; • massimo valore di le(t)I a transitorio esaurito inferiore a 0.1, con ingresso n(t) = 10 sin(100t); • banda passante della funzione di sensitività complementare superiore a 0.2 radianti per unità di tempo; • margine di fase Cr3 (,) -m') ~ G-4(ç) W:J 4 &1{() ( rJJw iJrN rW~ lnw~ S ~ -o.ç (J)J).;S~ SA/'~r-~ p; ~~ ( tJn ~ r °' 1. -- ~ Jw o 'I\AI"" ~) 7J) ,v. ~ },,,,.u;_J (fo=+ 1 poè\. >=-2 (n), J C-is2)/= 2 {bia)) 1.l) ~ ~cJ,Jll JJ. wl;,,,J, cW ol,k: · P~o ~ ~ J-~.ffO' ~ WQ;w li B~ ~~ . 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