Mathematical Engineering - Meccanica razionale e dei continui

03 Foglio di esercizi

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Politecnico di Milano – a.a. 2022/23 Corso di Laurea in Ingegnaria Matematica Meccanica Razionale e dei ContinuiDocente: prof.Michele Correggi Esercitatore: dott.Michele Fantechi Foglio di Esercizi 3 Vincoli e gradi di libert`a1.Due punti materiali inAeBsono vincolati a muoversi rispettivamente lungo l’asse ˆıe ˆ ȷ(si veda la fig.). I due punti sono collegati da un filo inestensibile di lunghezzaℓ >0 che a sua scorre su un piolo situato nel punto di coordinate (0, h,0),h >0.1.1Determinare il numero di gradi di libert`a del sistema nel caso in cui il filo sia in tensione e in caso contrario; 1.2assumendo il filo in tensione, determinare la relazione fra le velocit`a dei due punti; 1.3determinare gli spostamenti e le velocit`a virtuali dei due punti compatibili con ilvincolo di filo in tensione e non. 2.Un disco di raggioR >0 `e vincolato a muoversi nel piano individuato dagli assi ˆı, ˆȷ, rotolando senza striscare lungo la sbarraBD, che `e incernierata all’asse ˆȷnel punto fisso Ddi coordinate (0, h,0) conh > R(si veda la fig.). Il centro del discoC`e a sua volta collegato a un carrello vincolato all’asse ˆı. 1 2.1.determinare il numero di gradi di libert`a del sistema e mostrare che la configurazione del sistema `e univocamente determinata assegnando l’angoloϑ∈(−π, π); 2.2.determinare la velocit`a angolare dell’asta e del disco e descrivere i possibili moti/attidi moto del sistema. Puro rotolamento 3.Un disco di raggior >0 rotola senza strisciare lungo una guida semicircolare di raggio R > r(si veda la fig.).3.1.Determinare il numero di gradi di libert`a del sistema e mostrare che la configura- zione del sistema `e univocamente determinata assegnando l’angoloϑin fig.; 3.2.descrivere i possibili moti/atti di moto del sistema. Sistemi di riferimento non inerziali 4.Sapendo che la massa della Terra `eM= 5,97·1024 kg, che il suo raggio `eR= 6,36·106 m, che la costante di gravitazione universale valeG= 6,67·10− 11 m3 /(kg·s2 ) e che la velocit`a angolare della rotazione terrestre attorno al proprio asse `e 7,27·10− 25 s− 1 , determinare il valore dell’accelerazione di gravit`agall’equatore e ai poli. 2 5.Un punto materiale di massa m >0 `e collegato all’estremo di un’asta priva di massa il cui altro estremo `e incernierato nell’origineO(si veda la fig.). L’asta `e libera di muoversi in presenza di gravit`a nel pianoπche ruota con velocit`a angolare costante ω >0 attorno ad un asse passante perO.5.1.Scelto come coordinata l’angolo formato dall’asta con la verticale ϑ∈[0, π], scri- vere la posizione, la velocit`a e l’accelerazione del punto materiale nel sistema di riferimento solidale al piano rotante e in quello fisso del laboratorio; 5.2.scrivere la legge di Newton nel sistema di riferimento del laboratorio e nel sistemadi riferimento solidale. 3