Mathematical Engineering - Meccanica razionale e dei continui

02 Foglio di esercizi

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Politecnico di Milano – a.a. 2022/23 Corso di Laurea in Ingegneria Matematica Meccanica Razionale e dei ContinuiDocente: prof.Michele Correggi Esercitatore: dott.Michele Fantechi Foglio di Esercizi 2 Moti/Atti di moto rigidi1.Assegnati i puntiPeQdi coordinate−→ OP=ℓˆıe−→ OQ=ℓ(2ˆı−ˆ ȷ) e le relative velocit`a ⃗vP= v 0ˆ ie⃗v Q= v 0( αˆı+βˆ ȷ), conℓ, v 0> 0 eα, β∈R, determinareαeβin modo che l’atto di moto sia rigido e in tal caso trovare la velocit`a angolare dell’atto di moto rigido. Mostare poi che l’atto di moto `e piano per ogni valore dei parametri e determinare per quali valori `e rotatorio e per quali traslatorio. 2.Si consideri un corpo rigido che si muove nello spazio con velocit`a angolare⃗ω(t) =ωˆ k. Sapendo che la velocit`a del puntoPal tempot∈R`e⃗v P( t) =αˆı+βˆ k, determinare per quali valori diω,αeβinR, l’atto di moto `e piano traslatorio o rotatorio e, in tal caso, dove si trova il centro di istantanea rotazione. Nel caso in cui l’atto di moto non sia piano, determinare poi per quali valori dei parametri esso `e traslatorio, rotatorio od elicoidale e, negli ultimi due casi, trovare l’asse di istantanea rotazione e l’asse di Mozzi. 3.In un moto polare di un corpo rigido, gli angoli di Eulero al tempot >0 e le relative derviate valgono    ϑ =π4 , ψ=π6 , φ= 1,    ˙ ϑ=√3 , ˙ ψ= 1, ˙ φ=√2 . Determinare la velocit`a angolare, il tipo di atto di moto e la velocit`a del puntoPdi coordinate cartesiane−→ OP= (1,−1,2). 4.Dimostrare che ogni moto o atto di moto polare piano `e rotatorio, trovare l’asse dirotazione e il centro e l’asse di istantanea rotazione. 5.Dimostrare che l’atto di moto in ogni moto rigido precessionale `e rotatorio e trovarel’equazione dell’asse di istantanea rotazione. Gradi di libert`a 6.Si consideri un punto materiale vincolato a muoversi lungo una circonferenza di raggioR >0 centrata nell’origine nel piano ˆı,ˆ ȷ: scrivere le equazioni corrispondenti ai vincoli a cui `e sottoposto il sistema, verificare che siano indipendenti e compatibili e dedurre il numero di gradi di libert`a del sistema. 1 7.Si consideri una sbarra omogenea di lunghezza ℓ >0 i cui estremiAeBsono collegati a due carrelli liberi di scorrere rispettivamente lungo l’asse ˆıe ˆȷ. Scelte come coordinate del corpo rigido la posizione del puntoAe l’angolo formato dall’asse ˆıe dalla sbarra, misurato in senso orario, scrivere le equazioni corrispondenti ai vincoli in tali coordinate, verificare che siano compatibili e indipendenti e dedurre il numero di gradi di libert`a del sistema. Ripetere la procedure usando come coordinate del sistema quelle dei due puntiAeB, tenendo conto anche del vincolo di rigidit`a. 8.Si consideri un sistema meccanico formato da due aste di lunghezzaℓe spessore tra- scurabile (si veda la fig.). La prima asta ha l’estremoAincernierato nel punto fisso di coordinate (−32 ℓ, 0). Le due aste sono incernierate fra loro nel puntoBe la seconda asta ha l’altro estremoCcollegato ad un carrello libero di scorrere lungo l’asse ˆȷ. Si assuma che valga semprey C≥ y B.8.1.Scelte come coordinate delle due aste le posizioni dei punti AeBe gli angoliϑeφ (misurati in senso antiorario), corrispondenti ai vincoli in tali coordinate, verificare che siano compatibili e indipendenti e dedurre il numero di gradi di libert`a del sistema; 8.2.Trovare l’espressione delle coordinate al punto precedente in funzione dell’angoloϑ e determinare i possibili valori assunti da tale angolo; 8.3.Determinare le velocit`a angolari delle due aste e i relativi centri di instantanearotazione e descrivere i possibili moti/atti di moto del sistema. 2