Mathematical Engineering - Fisica Sperimentale 1

First partial exam

Politecnico di Milano Fisica Sperimentale 1 a.a. 2009-2010 - Facoltà dei Sistemi - Ing. Fisica-Matematica I prova in itinere - 27/04/2010 Giustificare le risposte e scrivere in modo chiaro e leggibile. Sostituire i valori numerici solo alla fine, dopo aver ricavato le espressioni letterali. Scrivere in stampatello nome, cognome, matricola e firmare ogni foglio. 1. Al Game City di Bollate hanno installato un nuovo flipper, per il quale il lancio della pallina di gioco, di massa m, è costituito da una molla inclinata di un angolo α rispetto all'orizzontale, la cui bocca di lancio sbuca dal piano del flipper. La molla viene compressa di Δx per permettere il lancio della pallina, ed il flipper fa guadagnare punti se con il lancio si riesce a mandare la pallina di gioco direttamente in una buca, posta a distanza d dalla bocca di lancio. Determinare: a) la velocità di lancio della pallina all'uscita della bocca di lancio in funzione della compressione Δx della molla; b) la compressione iniziale Δx da dare alla molla affinché si riesca a mandare in buca con un colpo la pallina. [m = 50 g; k = 150 N/m; d = 80 cm; α = 30°] 2. Si enunci la seconda legge della dinamica del punto materiale e se ne discuta il significato fisico. Si consideri il seguente caso pratico: due blocchi di massa m 1 e m 2 sono posti a contatto tra loro su un piano orizzontale scabro (coefficiente di attrito dinamico μ d) che li sostiene. Si applichi per un intervallo di tempo T una forza orizzontale F costante come in figura. a) Si determini la forza di contatto che il corpo 1 esercita sul corpo 2 durante la spinta ed al termine di essa. b) Si discuta se e come cambia la forza di contatto tra i corpi 1 e 2 applicando la forza F alla massa m 2 in verso opposto rispetto a quello indicato in figura. 3. Una autovettura sta percorrendo a velocità costante v una curva di raggio R inclinata α rispetto all'orizzontale; all'interno dell'autovettura un piccolo pendaglio avente massa m è appeso allo specchietto retrovisore, ed il conducente osserva che durante il moto il filo elastico (di lunghezza a riposo trascurabile e con costante elastica k) del pendaglio risulta inclinato di β rispetto alla verticale dell'auto. Determinare: a) il raggio della traiettoria del pendaglio in funzione di R, α, β e dell'allungamento Δx del filo elastico; b) l'allungamento Δx del filo elastico; c) la velocità v dell'auto. [R = 30m; m = 30 g; k = 17 N/m; α = 20°; β = 60°] 4. Un corpo è in moto su un piano inclinato scabro. Il grafico mostra i dati della velocità del corpo sull’asse x in funzione del tempo. A partire da tali dati, si calcoli: a) lo spazio percorso dal corpo dall'istante iniziale (t = 0) all'istante in cui inverte il proprio moto; b) la pendenza del piano e il coefficiente di attrito dinamico μd tra corpo e piano. F m1 m2 x θ μ d α k d Δx m β α R m 2 ESERCIZIO 1. a) Conservazione dell'energia meccanica durante il lancio 22 0 11 kΔx = mgΔxsinα + mv 22 2 0 k v = Δx - 2gΔxsinα m b) Moto parabolico dal lancio della molla con velocità iniziale v 0 0 2 0 x(t) = v cosαt 1 y(t) = v sinαt - gt 2 ⋅⋅ ⎧ ⎪ ⎨ ⋅⋅ ⎪ ⎩ Si calcola l’istante di tempo t* in cui la pallina ritorna alla quota y=0 e si impone che il lancio abbia una gittata pari a d = 80 cm: 2 0 1 y = v sinαt - gt = 0 2 ⋅⋅ 0 2v sinα t* = g⋅ 2 00 0 2v sinα2v sinαcosα x(t*) = v cosαt* = v cosα = gg⋅⋅ ⋅⋅ ⋅ () 2 0 2v sinαcosα dg =d v = = 3.01 m/s gsin2α ⋅ ⇒ La compressione della molla richiesta risulta quindi pari a: () 2 kdg v = Δx - 2gΔxsinα = msin2α () 2 kdg Δx - 2gsinαΔx - = 0 msin2α ⋅ Δx = 5.66 cm 3 ESERCIZIO 2. Parte applicativa a) A causa del contatto, il corpo di massa m1 esercita una forza F1,2 di contatto sul corpo di massa m2 parallela alla direzione del moto e diretta verso destra. A sua volta il corpo di massa m2 reagisce esercitando una forza F2,1 uguale e contraria sul corpo m1 ( F1,2 = - F2,1 ). Si indica con F CONTATTO il modulo di tali forze e si scrive la seconda legge della dinamica applicata a ognuna delle due masse contatto d 1 1 contatto d 2 2 F - F - μmg = ma F - μmg = ma⎧ ⇒ ⎨ ⎩ () ( ) d1 2 1 2 F - μm + m g = m + m a ⇒ d 12 F a = - μg m + m ⇒ Sostituendo l’espressione dell’accelerazione nella seconda legge della dinamica per il corpo m2, si ottiene:: () 2 CONTATTO 2 d 2 12 12m F F= ma + μg = m = F m + m m + m Al termine della spinta F = 0 2 CONTATTO 12m F = F = 0 m + m b) Invertendo le masse 1 CONTATTO 12m F = F m + m , e anche in questo caso al termine della spinta CONTATTOF0 = 4 ESERCIZIO 3. a) Raggio della traiettoria del pendaglio () r = R + Δxsinα + β ⋅ b) Dal punto di vista di un osservatore all’interno dell’automobile (osservatore non inerziale), il pendaglio appare fermo sotto l’azione della forza peso, della forza elastica e della forza apparente centrifuga, come mostrato in figura. elF = kΔx () 22 appvv F = m = m rR + Δxsinα + β ⋅ Legge fondamentale () () el el appFcosα + β = mg Fsinα + β = F ⎧ ⋅ ⎪ ⎨ ⋅ ⎪ ⎩ ( ) () () 2 kΔxcosα + β = mg v kΔxsinα + β = m R + Δxsinα + β ⎧ ⋅ ⎪ ⎨ ⋅ ⎪ ⋅ ⎩ E’ possibile quindi ricavare l’allungamento del filo: () mg Δx = = 9.98 cm kcosα + β ⋅ e la velocità con cui si muove l’automobile: () () kΔx v = sinα + βR + Δxsinα + β = 41 m/s = 147 km/h m⎡⎤ ⋅⋅ ⎣⎦ m α β mg Fel Fapp 5 ESERCIZIO 4. a) Tratto in salita 0v = 4 m/s 2 s Δv a = = -8 m/s Δt L’inversione del moto si ha nell’istante in cui la velocità si annulla e quindi in t*=0.5s 2 0s 1 x(t*) = v t* + a t* = 1 m 2 b) Legge fondamentale salita: () 2 d sd -mgsinθ - μmgcosθ a = = -g sinθ + μcosθ = - 8 m/s m discesa: () 2 d dd -mgsinθ + μmgcosθ a = = g-sinθ + μcosθ = -2 m/s m Inclinazione del piano dsa + a = 2gsinθ dsa + a sinθ = 2g θ = 30.6° Coefficiente d'attrito () sda = -gsinθ + μcosθ s d-a - sinθ g μ = = 0.355 cosθ