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Mathematical Engineering - Fisica Sperimentale 1
First partial exam
Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione Ingegneria Matematica 083024 - FISICA SPERIMENTALE I - a. a. 2016/2017 Prova in itinere – 28 aprile 2017 Problema 1 Un punto materiale di massa m può muoversi lungo un binario che ruota con velocità angolare ω attorno a un asse verticale, in modo da descrivere una superficie conica di vertice O e semiapertura β (vedi figura). Si determini: a) la quota h, misurata rispetto alla quota del punto O, alla quale il punto materiale rimane in equilibrio, assumendo che quest’ultimo possa muoversi senza attrito lungo il binario; b) la condizione a cui deve soddisfare il coefficiente di attrito statico µS tra punto materiale e binario, supposto scabro, affinché il punto materiale rimanga alla quota h, determinata nel punto a), quando venga raddoppiata la velocità di rotazione del binario. Problema 2 Una pallina di massa m 1 =100 g è vincolata a una molla disposta orizzontalmente (lunghezza a riposo l 0 = 50 cm, costante elastica k = 10 N/m), che ha l’altro estremo vincolato a un punto O. La molla è inizialmente tenuta compressa di un tratto ∆l 0 = 5 cm. Una volta liberata la molla, la pallina si muove su un piano orizzontale liscio fino a urtare una seconda pallina di massa m 2 = 2m 1, posta a distanza l 1 = 53 cm dal punto O. Calcolare: a) la velocità v 1 con cui la pallina di massa m 1 urta la seconda pallina; b) la massima compressione ∆l max della molla dopo l’urto, assumendo quest’ultimo elastico; c) il periodo T con cui il sistema oscilla dopo l’urto, assumendo quest’ultimo perfettamente anelastico. Problema 3 a) Si enunci il secondo teorema di König (o teorema di König per l’energia cinetica) per un sistema di punti materiali, definendo con precisione le grandezze coinvolte e discutendone il significato fisico. b) Si dimostri la validità del teorema, motivando i passaggi necessari alla dimostrazione. c) Si consideri ora un urto tra due punti materiali (in assenza di forze esterne impulsive): si rappresenti l’energia cinetica del sistema nei due contributi enunciati nel teorema di Koenig e si discuta se e come si modificano tali contributi a causa dell’urto, supposto completamente anelastico. O ω m β Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione Ingegneria Matematica 083024 - FISICA SPERIMENTALE I - a. a. 2016/2017 Problema 1 (10 PUNTI) a) 5 PUNTI In condizioni di equilibrio la forza peso, la reazione vincolare e la forza apparente di trascinamento devono annullarsi: ������� →������ ������sin������−������������=0 ������→������ ������−������ ������cos������=0 ������� ������sin ������=������������ ������ ������cos������=������ tan������=������ ������������ 2 Poiché ������=ℎtan������, abbiamo: ℎ=������ ������ 2tan 2������ b) 5 PUNTI Se la guida raddoppia la velocità angolare �������=2������, il punto materiale è mantenuto nella posizione del punto a) dalla forza di attrito. In condizioni statiche risulta: ������� →������ Tsin������−������������cos������−������ T=0 ������→������ N−������ Tcos������−������������sin������=0 con: ������ T≤������ ������������������ ������� T= ������ ⎩ ⎨ ⎧ ������T=4������������ tan������ sin������−������������cos������=3������������cos������ ������ N =4������������ tan������ cos������+������������sin������=�������������4cos 2������ sin������ +sin������� 3������������cos������≤������ �������������������4cos 2������ sin������ +sin������� 3sin������cos������≤������ ������( 4cos 2������+sin 2������) O ω m β P FT RN z r r h O ������� m β P FT RN RT Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione Ingegneria Matematica 083024 - FISICA SPERIMENTALE I - a. a. 2016/2017 ������������≥3 sin������cos������ 4cos 2������+sin 2������ =3 tan������ 4+tan 2������ Problema 2 (10 PUNTI) a) 3 PUNTI Per la conservazione dell’energia meccanica della pallina di massa m 1 risulta: 1 2 ������∆������ 02= 1 2 ������ ∆������ 12+ 1 2 ������1������12 con ∆ ������ 1=������ 1−������ 0. Quindi: ������ 1=������� ������ 1 (∆������ 02− ∆������ 12)= 0.4 m/s b) 4 PUNTI In un urto elastico si conservano quantità di moto ed energia cinetica totali: ������� 1������1= ������ 1������1′+ ������ 2������2 1 2������1������12= 1 2 ������1( ������ 1′)2+ 1 2 ������ 2������22 dove ������ 1′ è la velocità della pallina di massa m 1 subito dopo l’urto. ⎩ ⎨ ⎧ ������2=������ 1 ������ 2 ( ������ 1−������ 1′) ������ 1������12= ������ 1( ������ 1′)2+ ������ 12 ������ 2 [ ������ 12+ ( ������ 1′)2− 2������ 1������1′] �1+������ 1 ������ 2 � ( ������ 1′)2− 2������ 1 ������ 2 ������1������1′− �1−������ 1 ������ 2 � ������ 12= 0 Poiché ������ 2=2������ 1, abbiamo: 3 2 (������ 1′)2− ������ 1������1′− 1 2 ������12= 0 ������ 1′= ������ 1± � ������ 12+ 3������ 12 3 = −1 3 ������1 in quanto la soluzione ������ 1′= ������ 1, che comporta ������ 2=0, non descrive un urto. Per la conservazione dell’energia meccanica della pallina di massa m 1 dopo l’urto risulta: 1 2 ������∆������ max2 = 1 2 ������ ∆������ 12+ 1 2 ������1( ������ 1′)2 ������∆������ max2 = ������∆������ 12+ ������ 1�−1 3 ������1� 2 ∆������ max2 = ∆������ 12+ ������ 1 9 ������ ������12 Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione Ingegneria Matematica 083024 - FISICA SPERIMENTALE I - a. a. 2016/2017 ∆������ max2 = ∆������ 12+ ������ 1 9 ������ ������ ������ 1 (∆������ 02− ∆������ 12) =1 9 ∆ ������ 02+ 8 9 ∆ ������ 12 ∆������ max =1 3 � ∆������ 02+ 8∆������ 12= 3.3 cm c) 3 PUNTI A causa dell’urto perfettamente anelastico le due palline si fondono rimanendo comunque collegate alla molla. Esse si muoveranno quindi di moto armonico con pulsazione pari a: ������=������� ������ 1+������ 2 Il periodo del moto risulta quindi: ������=2 ������ ������ =2������������� 1+ ������ 2 ������ =2�������3 ������ 1 ������ =1.1 s Problema 3 12 PUNTI (4 + 5 + 3 PUNTI) Per lo svolgimento si faccia riferimento a un opportuno testo di teoria