Mathematical Engineering - Fisica Sperimentale 1

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Politecnico di Milano Fisica Sperimentale B+C (prof. Claudia Dallera - Roberta Ramponi) a.a. 2006-2007 - Facoltà dei Sistemi - Ind. Fisica-Matematica I prova in itinere - 10/05/2007 Giustificare le risposte e scrivere in modo chiaro e leggibile. Sostituire i valori numerici solo alla fine, dopo aver ricavato le espressioni letterali. Scrivere in stampatello nome, cognome, matricola e firmare ogni foglio. 1. Un martello, costituito da un'asta lunga d e di sezione S 1 e da un cubetto di lato L (entrambi di alluminio di densità ρ), può oscillare tenuto per l'estremo del manico (vedi figura). Il martello forma un angolo α con la verticale e, lasciato libero, urta elasticamente (all'estremo inferiore del cubetto) contro una massa puntiforme di massa m1 posta ad un'altezza h da terra. Determinare: • la distanza del centro di massa del martello dal punto O; • il momento d'inerzia del martello rispetto all'asse di rotazione; • il modulo della velocità angolare con la quale il martello colpisce la massa puntiforme; • il modulo della velocità con la quale la massa riparte dopo l'urto. [momento d'inerzia di un'asta lunga x rispetto al suo centro di massa: I asta = 1/12 mx2 ] Scompongo il sistema in asta + cubo: calcolo del centro di massa asta d y = 2 asta Al asta Alm = ρV = ρdS cubo L y = d + 2 3 cubo Al cubo Alm = ρV = ρL asta cubo m = m + m asta asta cubo cubo Casta cubo m y + m y y = m + m Calcolo il momento d'inerzia 2 2 2 asta asta asta asta 1 d 1 I = m d + m = m d 12 2 3      2 2 cubo cubo cubo 1 L I = m L + m d + 12 2     asta cubo I = I + I Determino l'angolo che forma il martello con la verticale al momento dell'urto ( )( ) d + L 1 - cos β = h h cosβ = 1 - d + L Conservazione dell'energia tra la partenza ed un attimo prima dell'urto i fE = E ( ) ( ) 2 C C1 mgy 1 - cos α = mgy 1 - cosβ + Iω 2 ( )C 2mgy cos β - cosα ω = I Conservazione dell'energia cinetica e del momento angolare durante l'urto d L m1 h α O β 2 i fK = K 2 2 2 1 1 1 1 I ω = Iω' + m v 2 2 2 i fL = L ( ) 1 Iω = Iω' + m v d + L ( ) 1m v d + L ω' = ω - I risolvendo il sistema ( ) ( ) ( ) 22 11 1 2 2 2 2 22 1 11 m v d + L m v d + L 2m vωd + L Iω = Iω' + m v = Iω - + m v = Iω + - + m v I I I                   ( ) ( ) 2 1 2 1 1 m d + L v m + - v 2m ωd + L = 0 I         ⋅       ( ) ( ) 2 1 2 ωI d + L v = I + m d + L 2. Enunciare e dimostrare il principio di Archimede, utilizzandolo poi per risolvere l'esercizio seguente. Il buon vecchio Robinson Crusoe sta per lasciare l'isola, e vuole costruire una zattera in legno adatta a sorreggere lui, di massa m1, ed il suo misero bagaglio, di massa m2: • considerando di utilizzare n tronchi di sezione circolare, lunghi L ed aventi diametro d, qual è la massa m2 massima del bagaglio che può portare con sé perché la zattera resti a galla? • quanti tronchi è necessario aggiungere se si vuole quadruplicare la massa del bagaglio? [ρ legno = 700 kg/m3 ; m1 = 80 kg; n = 5; L = 2 m; d = 20 cm] Uguagliando il peso di tutti i componenti del sistema con la spinta d'Archimede, otteniamo 1 2 legno acqua m g + m g + n ρ Vg = nρVg 2 d V = SL = πL 4      ( ) 2 2 acqua legno 1d m = n ρ - ρ πL - m = 14.2 kg 4 Ora invertiamo la medesima equazione per ricavare il numero di tronchi necessari ( ) ( ) 1 2 1 22 2 acqua legno acqua legnom + m' m + 4m n' = = = 7.26 8 d d ρ - ρ πLρ - ρ πL 4 4 → n = n' - n = 3 m2 m 1 3 3. In un recipiente, contenente una massa m 1 di acqua alla temperatura T 1, viene immerso un blocco di alluminio (calore specifico cAl) di massa m 2 alla temperatura T 2. Dopo che si è stabilito l’equilibrio termico, una mis ura della temperatura T'f dell’acqua fornisce i risultati di seguito riportati per due diversi valori della massa m 2 1) m 2 = 1 kg T' f = 22.8 °C 2) m 2 = 0.5 kg T' f = 21.4 °C Calcolare la temperatura finale teorica Tf per i due diversi casi, e motivare le possibili cause f isiche di discrepanza dal dato sperimentale T'f relativo. [m 1 = 5 kg; T 1 = 20 °C; c Al = 220 cal/(kg °C); T 2 = 90 °C] Le temperature attese si calcolano imponendo che il calore complessivo scambiato dal sistema sia nullo, ovvero ( ) ( ) 1 1 f 1 2 Al f 2m c T'' - T + m c T'' - T = 0 1 1 1 2 Al 2 f 1 1 2 Al m c T + m c T T'' = m c + m c e per i due diversi casi si ottiene 3) m 2 = 1 kg T'' f = 22.95 °C 4) m 2 = 0.5 kg T'' f = 21.51 °C La temperatura misurata è in entrambi i casi più bassa di quella teorica a causa del calore scambiato dal recipiente, con capacità termica non nulla, e ad altri scambi di calore con l’esterno. 4. Un gas ideale costituito da n moli di argon alla temperatura T A compie • un'espansione isoterma AB che ne raddoppia il volume • poi un'espansione adiabatica BC che ne triplica il volume rispetto allo stato iniziale • ed infine una compressione isobara CD che lo riporta al volume originario. Calcolare • il calore assorbito dal gas durante le tre trasformazioni; • il lavoro prodotto durante la trasformazione adiabatica. considerando che tutte le trasformazioni siano reversibili. Il ciclo viene poi chiuso per mezzo di una trasformazione isocora irreversibile DA, che il gas compie ricevendo un calore Q; determinare: • il rendimento del ciclo; • la variazione d'entropia durante la trasformazione DA. [n = 4 mol; TA = 380 K; Q = 16 747 J; R = 8.3143 J/(mol K)] Il gas è monoatomico, quindi V 3 c = R 2 p 5 c = R 2 p V c 5 γ = = c 3 Durante la trasformazione isoterma l'energia interna non varia isot isot U = Q - W = 0 B isot isot A A A A V dV Q = W = p dV = nRT = nRT ln = nRT ln2 = 87 60 J V V ∫ ∫ Determino la temperatura nello stato C B AT = T γ-1 γ-1 B B C C T V = T V γ-1 γ-1 γ-1 B C B B A C V 2 2 T = T = T = T V 3 3                  Durante la trasformazione adiabatica il calore scambiato è nullo adiab adiab Q =  U + W = 0 V p B C V 2V A 3V D Q 4 ( ) γ -1 γ-1 B adiab adiab V C B V B V A C V2 W = -U = -nc T - T = -nc T - 1 = -nc T - 1 = 4490 J V 3                         Determino la temperatura nello stato D C Dp = p C D C D T T = V V γ-1γ-1 D D C B A CV 2 1 2 1 T = T = T = T V 3 3 3 3             Durante la trasformazione isobara ( ) γ-1 isob p D C p A 2 1 Q = nc T - T = nc T - 1 = -16 074 J 3 3             Per la variazione d'entropia isot isot AQ S = = 23.1 J/K T ∆ adiab S = 0∆ D D isob p p p C CT V1 S = nc ln = nc ln = nc ln = -91.3 J/K T V 3 isot adiab isob isoc S = S + S + S + S = 0 ( ) isoc isot adiab isob S = -S + S + S = 68.2 J/K Oppure direttamente: A isoc v DT S = nc ln = 68.3 J/K T Per il rendimento ced isob ass isotQ Q η = 1 + = 1 + = 37 % Q Q + Q dove Q isob = Q CD e Q isot = Q AB