Mathematical Engineering - Fisica Sperimentale 1

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Politecnico di Milano Fisica Sperimentale B+C (prof. Claudia Dallera - Roberta Ramponi) a.a. 2006-2007 - Facoltà Ingegneria dei Sistemi - Ind. Fisica-Matematica I appello (recupero I parte) - 16/07/2007 Giustificare le risposte e scrivere in modo chiaro e leggibile. Sostituire i valori numerici solo alla fine, dopo aver ricavato le espressioni letterali. Scrivere in stampatello nome, cognome, matricola e firmare ogni foglio. 1. In base all'esperienza del laboratorio di Corpo rigido, un disco omogeneo di raggio R sta ruotando con velocità angolare costante ω. Dall'alto viene fatto cadere un secondo disco di raggio r, composto dello stesso materiale, che va ad urtare il primo disco rallentandone il moto sino a diminuire di 1/3 la velocità angolare. Determinare il raggio r del secondo disco. (I disco = ½ mR 2) R r ω ' 2. Un'asta di plastica, lunga d , sezione S e densità ρ, è incernierata sul fondo di un contenitore (nel punto O di figura) e posta orizzontalmente; il contenitore viene riempito con acqua sino ad un livello h, e l'asta comincia a sollevarsi parzialmente. Trovare l'angolo di equilibrio che si instaura tra l'asta ed il fondo del contenitore. h d θ O S [d = 1.5 m; S = 1 cm 2; ρ = 1600 kg/m 3; h = 60 cm] 3. • Enunciare (e, facoltativo, dimostrare) il principio di Bernoulli, utilizzandolo per risolvere l'esercizio seguente. In un condotto orizzontale di diametro d 1 in cui scorre acqua viene inserito un tubo di Venturi, avente diametro della strozzatura d 2; due colonnine di mercurio vengono poste verticalmente sotto il condotto e sopra la strozzatura per misurare la pressione statica, e la differenza in altezza delle due colonnine è h. Determinare: h d 1 d2 • la velocità dell'acqua nel condotto e nella strozzatura; • la portata del condotto. 4. Una mole di gas ideale monoatomico compie il ciclo descritto in figura nel piano T-S • trovare il calore assorbito o ceduto durante ognuna delle tre trasformazioni; : 2; S T B T 1 C T2 S1 S2 A • disegnare nel piano T-S un ciclo di Carnot con sorgenti a temperature T 1 e T • confrontare i rendimenti dei due cicli, espressi in funzione delle sole due temperature. 1. Conservazione del momento angolare con Iω = I'ω' 2 ω' = ω 3 Anche il momento d'inerzia cambia durante la rotazione 2 1 I = mR 2 22 11 I' = mR + m'r 22 Se i due dischi sono dello stesso materiale e di spessore d si ha 2 2 22 mr m' = ρV = πr d = m πR d R 24 22 2 2 2 22 1111r1 r I' = mR + m'r = mR + m r = m R + 2222 2RR⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ da cui Iω = I'ω' 4 22 2 11 rmRω = m R + ω 22R ⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ 2 3 4 22 2r2 R = R + 3 R ⎛⎞ ⎜ ⎜ ⎝⎠ ⎟ ⎟ 4 22 2 3R - R = 2R r 4 1 R = r 2 4 4 R r = 2 2. All'equilibrio, il momento della forza peso dev'essere equilibrato dal momento della spinta d'Archimede (il momento della reazione del vincolo della cerniera è nullo se valutiamo i momenti in O); la forza peso (verticale verso l'alto) si può pensare applicata nel centro di massa dell'asta, mentre la spinta d'Archimede (verticale verso il basso) nel centro di massa della parte immersa dell'asta A dx Pcosθ = F cosθ 22 con h x = sinθ A h Pd = F sinθ con P = m g = ρSd g 2 AHOF = ρSx g 2 2 2HO h ρd = ρ sinθ ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ 2HOρ h sinθ = dρ θ = 18.4° 2 3. Applicando la costanza della portata relativa alle due sezioni S 1 del condotto ed S 2 della strozzatura ed il principio di Bernoulli (a pari quota) si ha 11 2 2Sv = S v 2 11 21 1 22 Sd v = v = v Sd⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ La differenza di pressione si ottiene da lla differenza di quota h del mercurio nelle due colonnine (come da figura), in base alla statica dei fluidi; poiché alla quota del tratteggio più basso la pressione dev'essere la medesima, si ha 112 2Hgp + ρgh = p + ρgh + ρgh () () 1 2 2 1 HgHg Hgp - p = ρgh - h + ρgh = -ρgh + ρgh = ρ - ρgh dove h 1 ed h 2 sono le distanze tra il livello d'acqua nel condotto ed il pelo libero di mercurio nelle due colonnine. Sostituendo nell'equazione di Bernoulli otteniamo la velocità del fluido nel condotto e nella strozzatura 2 12 14 1 2 p - p 2 v = ρd - 1 d ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ Hg 14 1 2ρ - ρ 2gh v = ρd - 1 d ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ 2 1 21 2 d v = v d ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ La portata, costante, è presto ottenuta 2 1 11 1 d Q = v S = vπ 2 ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ 4. I calori scambiati risultano (da una semplice analisi delle aree) ABQ = 0 ()( ) 1221 BCT + T S - S Q = 2 ricevuto ( CA 2 1 2Q = TS - S ) ceduto Il rendimento vale dunque ()() () ()() 122121 2 ric ced BC CA12 1221 ricricBC1 2T + T S - S + T S - S Q + Q Q + QT - T W 2 η = = = = = T + T S - S QQ QT + 2 T da confrontarsi con quello del ciclo di Carnot 212 C 11TT - T η = 1 - = > η TT 3