Mathematical Engineering - Fisica Sperimentale 1

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Politecnico di Milano Fisica Sperimentale 1 (prof. Claudia Dallera) a.a. 2008-2009 - Facoltà dei Sistemi – Corso di Laurea in Ingegner\ ia Fisica I prova in itinere - 27/04/2009 Giustificare le risposte e scrivere in modo chiaro e leggibile. Sostituire i valori numerici solo alla fine, dopo aver ricavato le espressioni letterali. Scrivere in stampatello nome, cognome, matricola e firmare ogni foglio. 1. Una palla di massa m = 1 kg viene lasciata cadere da una quota h 0 con velocità iniziale nulla. Calcolare: a. il valore della quota h 0 affinché, dopo aver rimbalzato al suolo, raggiunga un'altezza massima h 1 = 1 m, sapendo che nell'urto anelastico con il suolo la palla perde metà della sua energia ad ogni rimbalzo; b. l’impulso di ciascuna delle forze agenti sulla palla durante l'urto; c. la quota h 2 che viene raggiunta dopo il secondo rimbalzo. m1 m2 m3 2. Un carrello di massa m 1 libero di muoversi su un piano scabro (coefficiente d'attrito dinamico μ d) viene tenuto fermo mentre su di esso si trova un secondo corpo di massa m 2 che presenta un coefficiente d'attrito statico μ s con il carrello. Al carrello è collegato, tramite una carrucola ed una fune inestendibile entrambe prive di massa, un oggetto di massa m 3, che ad un certo istante viene lasciato libero di cadere. a. Quale è il massimo valore della massa m 3 perché la massa m 2 non si muova rispetto al carrello? b. Quanto vale in tale condizione limite il valore della tensione della fune e dell'accelerazione della massa m 3? Supponendo di utilizzare una massa m 3 inferiore a quella limite calcolata in precedenza, si trovi: c. in quanto tempo il carrello raggiunge una velocità v d. di quanto si sarà spostato il carrello quando sarà stata raggiunta tale velocità. 3. Un corpo puntiforme di massa M, posto su un piano orizzontale scabro con coefficiente di attrito statico μs e dinamico μd, è a contatto con un respingente di massa trascurabile costituito da una molla di costante elastica k. La molla vine compressa di un tratto ΔL e successivamente viene lasciata libera. A distanza d dal respingente è situata una guida circolare, costituita da un quarto di circonferenza di raggio R, avente coefficienti di attrito statico e dinamico uguali a quelli del piano di appoggio. Si determini: a. la forza agente sul corpo di massa M quando la molla é compressa; b. la velocità del corpo di massa M nel punto corrispondente alla condizione di riposo della molla; c. velocità del corpo di massa M nell’istante di distacco dalla guida circolare; d. la massima quota h raggiunta dal corpo durante il suo moto. (Dati: M=10 g, μ s=0.7, μ d=0.3, k=20 N/m, ΔL=10 cm, d=1 m, R=10 cm). 4. Si discuta quali sono le quantità fisiche che si conservano durante il moto di un corpo soggetto alla sola forza di attrazione gravitazionale. Si risolva quindi il seguente problema: un missile viene lanciato dalla superficie terrestre con velocità v 0. a. Si supponga che il lancio venga effettuato in direzione radiale. Determinare il valore di v 0 per cui il missile giunge a una distanza massima dal centro della terra pari a 2R. Si approssimi la Terra a una sfera di raggio R e massa M e si esprima il risultato in termini della massa e del raggio della Terra e della costante di gravitazione universale γ. Quanto vale il momento della quantità di moto del missile? b. Si supponga che il lancio venga effettuato in una direzione inclinata di un angolo α ≠ 0 rispetto a quella radiale. Stabilire se in tal caso la distanza massima dal centro della Terra risulta uguale o minore di 2R. 1. conservazione dell'energia nel primo tratto 00U = K 2 00 1 mgh = mv 2 2 00v = 2gh conservazione dell'energia nel secondo tratto 11U = K 11U = mgh 00 10KU1 K = = = mgh 222 10 1 mgh = mgh 2 01h = 2h = 2 m teorema dell'impulso 0 1K K = 2 22 10 11mv = mv 24 0 1v v = 2 ()10 00 11 I = Δp = m v + v = mv + 1 = m 2gh + 1 = 10.7 Ns 22 ⎛⎞ ⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ terzo tratto 22U = K 22U = mgh 00 1 20KU K1 K = = = = mgh 24 44 20 1 mgh = mgh 4 0 2h h = = 50 cm 4 2 2. Sulla massa m 2 agisce la forza d'attrito col carrello, oltre che il suo peso e la reazione d'appoggio del carrello; perché m 2 non si sposti rispetto al carrello si deve muovere con la stessa accelerazione del carrello. Le equazioni (orizzontali) del moto delle 3 masse sono 33mg - T = ma sd 1 T - F - F = m a s2F = m a () dd1 2F = μm + m g da cui ricavare ) ( ) 1sd 3 T = m a + F + F = m g - a () 3sd1 2 3sd 1313m g - F - μm + m g m g - F - F a = = m + mm + m (3 T = m g - a () 3sd1 2 s2 2 13m g - F - μm + m g F = m a = m m + m ( ) 3d1 2 s2 12 3m - μm + m F = mg m + m + m La condizione limite è quindi att s 2F μmg ≤ ( ) 3d1 2 2s 123m - μm + m mg μmg m + m + m ≤ 2 () sd 312 sμ + μ m m + m 1 - μ ≤ In condizioni limite, il valore dell'accelerazione risulta ss2 s 22Fμmg a = = = μg mm mentre la tensione è ( ) ( )( ) 1sd 1ss2 d1 2 1 2sd T = m a + F + F = mμ + μm + μm + m g = m + mμ + μg ⎡⎤ ⎣⎦ Se la massa m 3 è inferiore a quella limite, il corpo m 2 non scivolerà sul carrello, che sarà soggetto all'attrito dinamico con il piano (tutto va come se m 1 ed m 2 fossero una massa sola). Dalle equazioni del moto ricaviamo l'accelerazione 33mg - T = ma ( d12 T - F = m + m a ) ( ) dd1 2F = μm + m g da cui () () ( ) ( )( ) 12 d 12 d12 12 d T = m + m a + F = m + m a + μm + m g = m + m a + μg () () 312 dmg - m + m a + μg = ma 3 ( ) 3d1 2 123m - μm + m a = g m + m + m Il moto è quindi uniformemente accelerato: v = at () 123 3d1 2m + m + m vv t = = agm - μm + m () 22 2123 3d1 2 m + m + m 11v1 x = at = = 22a2m - μm + m g v 3 3. Verifico se la mossa, quando lasciata libera, si muove elF = k ΔL = 2 N ssF = μMg = 0.07 N el sF > F Energia meccanica e lavoro dell'attrito tra il rilascio ed il raggiungimento della posizione di riposo della molla nc ΔE = W 22 1dd 11Mv - k ΔL = -FΔL = -μMgΔL 22 1d k v = ΔLΔL - 2μg = 4.41 m/s M ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ Energia meccanica e lavoro de ll'attrito per il tratto d nc ΔE = W 22 22dd 11Mv - Mv = -F d = -μMgd 22 2 21d v = v - 2μgd = 3.68 m/s Arco con attrito 3v = ... Conservazione dell'energia meccanica nel tratto verticale ΔE = 0 2 3 1Mv + MgR = Mgh 2 2 3v h = + R 2g 4. Conservazione dell'energia meccanica tra il lancio ed il punto finale 2 0 1mMmmv -γ = -γ 2R M 2R 0 M v = γ R Momento angolare, la velocità è parallela alla posizione, quindi L = 0G Quando α > 0 allora L > 0, e quindi la velocità del missile nel punto di arrivo non può essere nulla (lo sarà la sola componente radiale, non quella tangenziale), pertanto la sua energia potenziale nel punto di arrivo dovrà essere più piccola (dovendosi conservare l'energia meccanica totale, uguale nei due casi). Quindi il punto di arrivo sarà a distanza minore di 2R. 4