Mathematical Engineering - Fisica Sperimentale 1

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Politecnico di Milano Fisica Sperimentale 1 (prof. Claudia Dallera) a.a. 2008-2009 - Facoltà dei Sistemi – Corso di Laurea in Ingegner\ ia Fisica II prova in itinere - 01/07/2009 m R m 1 θ L Giustificare le risposte e scrivere in modo chiaro e leggibile. Sostituire i valori numerici solo alla fine, dopo aver ricavato le espressioni letterali. Scrivere in stampatello nome, cognome, matricola e firmare ogni foglio. 1. Una sbarra omogenea lunga L e di massa m (momento d'inerzia dell'asta rispetto al centro di massa I C = 1/12 mL 2) è saldata per un'estremità all'asse di un disco di raggio R, di massa trascurabile rispetto a quella della sbarra . Il sistema può ruotare senza attrito attorno all'asse del disco, disposto orizzontalmente, ed è tenuto in equilibrio da un corpo di massa m 1 agganciato ad un estremo di un filo ideale avvolto intorno al disco: a. determinare l'angolo di equilibrio θ che l'asta forma con la verticale. Ora al filo viene agganciato un altro corpo di massa m 2 = 2m 1: b. determinare la velocità angolare del sistema quando la sbarra si trova verticalmente come in figura. [R = 10 cm; m = 1 kg; m 1 = 800 g; L = 32 cm] 2. Si enunci e si dimostri il principio di Archimede. Un pallone aerostatico è perfettamente deformabile, ed inizialmente occupa un volume V 0. Il pallone contiene elio (gas monoatomico, massa molare m mol ) con densità iniziale ρ elio, e sta volando ad altezza costante; supponendo che la pressione all'interno del pallone sia quella atmosferica p 0, determinare a. la massa ed il numero di moli di elio contenute nel pallone; b. la massa m 0 (considerata di volume trascurabile rispetto a quello del pallone) sorretta dal pallone durante il volo. Si vuole aggiungere a bordo uno strumento di massa m 1: c. quale deve essere il nuovo volume del pallone per fare in modo che il sistema possa nuovamente volare ad altezza costante? d. quale sarà la temperatura del gas in tali condizioni? e. quanto calore è necessario fornire al gas contenuto nel pallone perché questo aumenti il suo volume sino al nuovo valore? [m mol = 4 g/mol ; ρ aria = 1.2 kg/m 3; ρ elio = 0.162 kg/m 3; p 0 = 101 325 Pa; V 0 = 900 m 3; m 1 = 150 kg] 3. Un recipiente isolato a pareti rigide contiene una miscela di acqua m a e ghiaccio m g alla temperatura T 0. Nel recipiente viene versata altra acqua m 1 alla temperatura T 1. Determinare a. il valore della temperatura T f di equilibrio; b. la variazione di entropia dell'intero processo. [λf = 80 cal/g; m a = 300 g; m g = 600 g; T 0 = 0 °C; m 1 = 1100 g; T 1 = 80 °C] 4. Una mole di gas ideale monoatomico a pressione p A e volume V A svolge un ciclo frigorifero costituito da • una trasformazione isobara reversibile che porta il gas a volume 2V A; • una trasformazione isoterma reversibile che riporta il gas a volume V A; • infine una trasformazione irreversibile che chiude il ciclo, durante la quale il gas scambia calore con la sorgente T A che in tale trasformazione varia la sua entropia di ΔS. Calcolare a. le temperature negli stati A, B e C, la pressione nello stato C; b. il calore scambiato ed il lavoro svolto durante ogni trasformazione del ciclo; c. l'efficienza del ciclo frigorifero. [p A = 10 3 Pa; V A = 1 m 3; ΔS = 16.6 J/K] 1. Equilibrio dei momenti, calcolo rispetto all'asse di rotazione 1 L mgR = mg sinθ 2 1m2R sinθ = = 0.5 mL π θ = 6 Aggiungendo la massa m 2, il corpo comincia a ruotare; quando l'asta sarà verticale, il disco avrà ruotato di π h = Rπ - 6 ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ ed idem sarà disceso il filo; calcolo la variazione di energia potenziale e cinetica () () () 121 LπL ΔU = - m + m gh + mg 1 + cosθ = -3m gRπ - + mg 1 + cosθ 26⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ 2 () 22 12 11 ΔK = m + m v + Iω 22 v = ωR 2 1 I = mL 3 22 22 1 31 ΔK = mωR + mRω 26 Dalla conservazione dell'energia meccanica ΔU + ΔK = 0 () 22 22 11 πL31 -3m gRπ - + mg 1 + cosθ + mωR + mRω = 0 62 2 6 ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ () () 1 1 1 1 5L 3m Rπ - m 1 + cosθ 15m Rπ - 3Lm 1 + cosθ 11 62 ω = g = g = 15.4 rad/s 31 RR 9m + m m + m 26 2 2. Condizioni iniziali elio elio 0m = ρV = 145.8 kg elio molm n = = 36 450 mol m 00 0pV T = = 301 K nR V 3 c = R 2 Equilibrio tra peso e forza d'Archimede 0elioaria0mg + m g = ρVg 0aria0eliom = ρV - m = 934.2 kg Con la massa aggiunta serve un volume del pallone pari a ( ) 01 elio aria1m + m g + m g = ρVg 3 01elio 1 aria m + m + m V = = 1025 m ρ Trasformazione a pressione esterna costante ( ) 01 0 W = p V - V ( ) V1 0 ΔU = nc T - T 1 10 0V T = T = 341.7 K V ()()01 0 V1 0 Q = W + ΔU = p V - V + nc T - T = 31.17 MJ oppure ()p1 0 Q = nc T - T = 31.17 MJ 3 3. Sistema isolato 123Q + Q + Q = 0 () 1gf gf0Q = mλ + m c T - T ( ) 2af0Q = mcT - T ( ) 31f1Q = mcT - T () () ag011gf f ag1m + m cT + m cT - mλ T = = 293.15 K = 20 °C m + m + m c Variazione di entropia 12 ΔS = ΔS + ΔS + ΔS 3 gf f 1g 00mλ T ΔS = + m c ln = 913 J/K TT f 2a 0T ΔS = m c ln = 88.8 J/K T f 31 1T ΔS = m c ln = -858 J/K T 123 ΔS = ΔS + ΔS + ΔS = 143.8 J/K 4 4. Ciclo frigorifero AA ApV T = = 120 K nR B BA A AV T = T = 2T = 240 K V CB AT = T = 2T = 240 K CC C CA nRT nRT p = = = 2000 PaVV Calore scambiato () AB p B AA 5 Q = nc T - T = n RT = 2494 J 2 C BC BC B BV Q = W = nRT ln = -1383 J V CA A -Q ΔS = T CA AQ = -TΔS = -1992 J Lavoro svolto AB BC CA AB BC CA W = W + W + W = Q + Q + Q () AB A B A A AW = p V - V = p V = 1000 J CA AB BC CA AB BCW = Q + Q + Q - W - W = -498 J AB BC CA W = W + W + W = -881 J oppure () CA CA CA CA V A CW = Q - ΔU = Q - nc T - T = -498 J Efficienza ass ABQQ ε = = = 2.83 -W -W 5