Mathematical Engineering - Fisica Sperimentale 1

Full exam

Politecnico di Milano Fisica Sperimentale I a.a. 2009-2010 - Facoltà dei Sistemi - Ing. MATEMATICA Appello - 24/01/2011 Giustificare le risposte e scrivere in modo chiaro e leggibile. Sostituire i valori numerici solo alla fine, dopo aver ricavato le espressioni letterali. Scrivere in stampatello nome, cognome, matricola e firmare ogni foglio. 1. Un corpo di massa m = 1.3 kg si muove su un piano inclinato di un angolo α = 40° rispetto all'orizzontale dopo essere stato lanciato dalla base del piano inclinato con una velocità iniziale v 0 = 2 m/s. Si determini: • l'intervallo di tempo necessario affinché il corpo si porti in quiete, sapendo che il coefficiente d'attrito dinamico tra corpo e piano è pari a μ d = 0.25; • il lavoro fatto dalla forza d'attrito in questo tragitto; • l'inclinazione massima che può avere il piano affinché il corpo, una volta fermatosi, rimanga in quiete (coefficiente d'attrito statico μ s = 0.5) 2. Un satellite artificiale di massa m = 1500 kg descrive intorno alla Terra un'orbita circolare di raggio r 1 = 20000 km. Successivamente il satellite viene portato su un'orbita geostazionaria. Calcolare: • il raggio della nuova orbita; • il lavoro compiuto per spostare il satellite sulla nuova orbita. [M T = 5.97·10 24 kg] 3. In un recipiente contenente acqua viene lasciata galleggiare una candela ornamentale di forma cubica e lato x = 10 cm. [ρ cera = 950 kg / m 3] a) Si calcoli quale percentuale del volume della candela sporge dalla superficie libera dell’acqua. b) Successivamente viene aggiunto nel recipiente una quantità di olio di oliva tale da ricoprire completamente la superficie libera della candela [ρ olio = 916 kg / m 3]. Sapendo che l’olio non si mescola con l’acqua, si calcoli quale percentuale del volume della candela è ora immersa in acqua e quale immersa in olio. 4. Un gas perfetto compie un ciclo termodinamico reversibile formato dalle seguenti trasformazioni: A→B adiabatica; B→C isobara; C→A isocora. Sapendo che nello stato A la pressione e il volume valgono p A = 10 6 Pa e V A = 1 litro, nello stato B il volume è V B = 5 litri e che durante la compressione isobara viene compiuto sul gas un lavoro L = -420 J, si determini: • il tipo di gas (monoatomico o biatomico); • il rendimento η del ciclo; α v0 A CB V pA CB V p x = 10 cm 2 SOLUZIONI ESERCIZIO 1 Forze lungo il piano ( ) att d d d Psinα + F = Psinα + μR = Psinα + μPcosα = P sinα + μcosα () () d 2 d Psinα + μcosα a = = g sinα + μcosα = 8.18 m/s m Moto uniformemente accelerato 2 0 1 s = v t - at 2 0 v = v - at v = 0 0v t = = 0.244 s a Lavoro della forza d'attrito () () 2 2 0 att d 0 dv 11 W = F L = -μmgcosαvt - at = -μmgcosα = -0.597 J 22a⎛⎞ ⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ Inclinazione massima att s s PsinαF = μR = μPcosα ≤ s tgαμ ≤ α26.6≤ ° 3 ESERCIZIO 2 Orbita geostazionaria F = ma 2 T TERRA 2 2 2 mMγ = mωr r T = 24 h = 86 400 s -5 TERRA 2π ω = = 7.27 10 rad/s T⋅ 2 T TERRA 2 2 2 mM γ = mωr r T 3 2 2 TERRAM r = γ ω =4.2 10 7 m=42000 Km Lavoro compiuto per cambiare l'orbita [] 2 TT MECC,1 1 1 11 Mm Mm 1 E = mωr - γ... - γ 2r2r== [] 2 TT MECC.2 2 2 22 Mm Mm 1 E = mωr - γ... - γ 2r2r== 9 MECC MECC,2 MECC,1 T 21 11 W = E =E - E = - γM m - = 7.82 10 J 2r 2r ⎛⎞ Δ⋅ ⎜⎟ ⎝⎠ 4 ESERCIZIO 3 In entrambi i casi la spinta di Archimede bilancia il peso della candela. Prima dell’aggiunta dell’olio: 2 2 CERA ARCH CERA CERA H 0 IMMERSO NON _ IMMERSO IMMERSO CERA CERA H 0 CERAmgF Vg V g V V 95% 5% VV=⇒ρ =ρ ρ ⇒==⇒ = ρ Dopo l’aggiunta dell’olio: () 2 2 2 2 2 CERA ARCH CERA CERA H 0 H 20 OLIO OLIO H20 OLIO CERA CERA CERA H 0 CERA OLIO OLIO OLIO H0 CERA OLIO CERA H 0 OLIO H0 CERAmgF Vg Vg Vg VV V Vg V V g Vg V 60% V V 40% V=⇒ρ =ρ +ρ += ρ=ρ−+ρ ρ−ρ ⇒= = ρ−ρ ⇒= 5 ESERCIZIO 4 a) Lungo la trasformazione adiabatica reversibile A→B, vale γ γB B A AV p V p=, dove V Pc c = γ che dipende dal tipo di gas. Mettendo in evidenza γ otteniamo: ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛A B BAV V p p ln ln γ . (1) La pressione in B si può ricavare ricordando che il lavoro compiuto nella trasformazione isobara B→C reversibile è () ( )B A B B C BV V p V V p L− = − = e quindi: () 5 1.05 10 B AB L p Pa VV ==⋅ − . (2) Sostituendo la (2) nella (1) otteniamo: ( ) () 4 . 1 ln) ( ln = − = A BB A AV VL V V p γ . Quindi si tratta di un gas biatomico. b) Il rendimento si può calcolare come: A C AC AQ Q QQ Q + = + =1 η , dove Q C è il calore ceduto dal gas durante la compressione isobara B→C e vale: ( )B C P CT T nc Q− = ; Q A è il calore assorbito dal dal gas durante la trasformazione isocora C→A e vale: ( )C A V AT T nc Q− = . Il rendimento risulta quindi: () () 343 . 0 1 1= − − + = − − + = A B A AB B A B C A VB C PV p V pV p V p T T ncT T nc γ η .