Mathematical Engineering - Fisica Sperimentale 1

Full exam

Politecnico di Milano Fisica Sperimentale I a.a. 2012-2013 – Corso di Laurea in Ingegneria Matematica Appello – 17/07/2013 Giustificare le risposte e scrivere in modo chiaro e leggibile. Sostituire i valori numerici solo alla fine, dopo aver ricavato le espressioni letterali. Scrivere in stampatello nome, cognome, matricola e firmare ogni foglio. 1.Un ragazzo lega un sasso di massa m a una cordicella di lunghezza l, inestensibile e di massa trascurabile; quindi fa roteare il sasso con una traiettoria circolare nel piano verticale (come in figura) a velocità angolare costante ω. La mano del ragazzo si trova a un'altezza h dal suolo. a)Calcolare la tensione massima e minima della fune durante il moto, precisando in quali punti della traiettoria vengono assunti i due valori. Calcolare la velocità angolare ω minima affinché la rotazione sia possibile. b)Quando il sasso giunge nel punto più alto della traiettoria circolare, il teppista lascia andare la cordicella. Definito un opportuno sistema di riferimento, scrivere l'espressione del vettore velocità del sasso nell'istante in cui la cordicella è lasciata andare. c)Scrivere in coordinate cartesiane l'equazione del moto del sasso successivamente al distacco. Scrivere l'equazione della sua traiettoria. d)Calcolare la distanza orizzontale a cui il sasso ricade al suolo. 2.Un uomo ha imbrigliato un masso sferico (di massa M = 100 kg) con una fune e lo sta tirando su per un pendio inclinato di α = 30°, così che il masso striscia senza rotolare, con coefficiente di attrito dinamico μ d = 0.3. a)Calcolare il lavoro minimo necessario per portare il masso fino a un'altitudine h = 40 m, supponendo di partire da h 0 = 0. b)Giunto ad altitudine h, la fune si rompe, il masso si libera dalla fune e comincia a rotolare (senza strisciare) verso valle. Calcolare la velocità del suo centro di massa quando arriva a h 0 = 0. [il momento di inerzia di una sfera piena di massa M e raggio R, rispetto al centro di massa, è I = 2/5 M R2 ] c)Arrivato a valle, ad altitudine h 0 = 0, il masso arresta il suo moto contro a un roccione. L'uomo ora vuole riportarlo su per il pendio. Anziché tirarlo con una fune, però, lo spinge dal basso, in modo che anche durante la salita rotola senza strisciare. Calcolare il lavoro minimo necessario per portare il masso fino all'altitudine h = 40 m. 3. a)Si definisca la variazione di entropia di un sistema lungo una trasformazione termodinamica reversibile. Si spieghi come è usualmente possibile calcolare la variazione di entropia di un sistema lungo una trasformazione irreversibile. b)Si consideri ora un mattone di capacità termica Σ = 3000 J/K, inizialmente in equilibrio termico con l'atmosfera, alla temperatura t A=20°C. Detto mattone è prima immerso in mare, assimilabile a un termostato a temperatura t m = 10°C fino a che raggiunge la sua stessa temperatura, e poi riportato in aria fino a che raggiunge nuovamente la temperatura t A. Quanto vale la variazione di entropia del mattone dallo stato iniziale (prima dell'immersione in mare) allo stato finale (quando raggiunge ancora la temperatura t A)? c)Calcolare la variazione di entropia dell'universo tra gli stessi estremi. Le trasformazioni compiute erano reversibili o irreversibili? 4.Una cometa di massa m sta viaggiando nello spazio. Quando si trova a una distanza d da una stella di massa M, ha una velocità ⃗vi, pari in modulo a ∣⃗v i∣=2 √γM/d, rivolta come in figura ( θ=π/6). [Sia γ la costante di gravitazione universale.] a)Definito un opportuno sistema di riferimento, scrivere l'espressione vettoriale della forza di attrazione gravitazionale agente in questo istante sulla cometa. b)Calcolare il vettore momento angolare della cometa (specificare modulo, direzione e verso) e l'energia meccanica del sistema. Commentare sul tipo di traiettoria che la cometa percorre. c)Calcolare la distanza minima dalla stella a cui giungerà la cometa nel suo percorso. m l h m M d ⃗vi θ h α Traccia di soluzione Esercizio 1 a)Poiche il sasso sta seguendo un moto circolare uniforme a velocita ango-lare!, la risultante delle forze applicate al sasso deve essere una forza centripeta. In particolare, si ha: Tmin+ P=m!2 lnel punto piu alto Tmax P=m!2 lnel punto piu basso doveTe la tensione della fune eP=mgil peso del sasso. Percio: Tmin= m !2 lg
Tmax= m !2 l+g
Tenendo presente che la tensione ha senso sico solo se e maggiore di zero, si ricava la velocita angolare minima: Tmin 0 =)! min=rg l b)Al momento del rilascio il sasso parte tangenzialmente alla traiettoriaprecedentemente seguita. Fissando un sistema di coordinate cartesiane in cui, riferendosi alla gura sul testo: l'assexe orizzontale e rivolto verso destra l'asseye verticale e rivolto verso l'alto l'asseze (di conseguenza) uscente dal foglio l'origine degli assi e posta al livello del suolo, esattamente sotto alla mano del ragazzo la velocita del sasso al momento del rilascio si puo scrivere come:~v=!l~u x 2 c)L'equazione del moto del sasso successivamente al distacco si puo scrivere come: x=!lt y=h+l12 gt2 Percio l'equazione della traiettoria e: y=h+l12 g! 2 l2x2 d)Riferendosi al sistema di riferimento precedentemente denito:xcaduta= !ls2 h +lg Esercizio 2 a)La minima forza motrice necessaria per spostare il masso lungo il pendioe: Fm;min= P k+ F a= M gsin+M g dcos =M g(sin+ dcos ) Il minimo lavoro necessario a portarlo no a quotahe dunque Lmin=Z ~ Fm;mind~ l=F m;minhsin = M gh(1 + dcot )'59:6
103 J b)L'energia meccanica del masso quando si trova a quotahe: E0= M gh L'energia meccanica del masso quando e giunto a valle e: E1=12 M v 2 +12 I ! 2 Nel rotolamento puro non ci sono forze dissipative che compiono lavoro, dunque si puo imporre la conservazione dell'energia meccanica. Tenendo presente che nel rotolamentov=!R, si ricava: v=r10 7 gh '23:7 m/s c)Di nuovo, nel rotolamento puro non esistono forze dissipative che com-piono lavoro. Si ricava che il lavoro necessario per riportare il masso a quotahe: L0 min=
E0 M E C C= M gh'39:2
103 J 3 Esercizio 3 a)Vedi la teoria sul libro di testo. b)L'entropia e funzione di stato. Lo stato iniziale e nale del mattone sonouguali. Dunque:
S mattone= 0 c)
S U=
S ambiente+
S mattone=
S ambiente L'ambientee costituito dai due termostati: il mare e l'atmosfera.
S mare=Q mT m= 
(T a T m)T m
S atmosf era=Q aT a= 
(T m T a)T a quindi:
S U=
S ambiente=
S mare+
S atmosf era= = 
( T a T m)2T mT a' 3:6 J/K>0 Poiche la variazione di entropia dell'universo e maggiore di zero, le trasfor- mazioni compiute erano irreversibili. Esercizio 4 a)jFj= mMd 2 la forza e diretta lungo la congiungente cometa-stella, diretta dalla cometa verso la stella. b)~ L=dmvsin(180 )~u z= mp dM ~u z dove, in riferimento alla gura,~u ze uscente dal piano del foglio. E= mMd + 12 mv 2 i= M md > 0 Essendo l'energia totale positiva, l'orbita della cometa e aperta, e in par- ticolare di forma iperbolica. 4 c)Nel punto piu vicino alla stella, la cometa si trova alla distanza r mincon velocitav Pe in particolare ~r min? ~v P. Si puo imporre la conservazione del momento angolare e dell'energia: j~ Lj=mv Pr min= mp dM E= M mr min+ 12 mv 2 P= M md e dal sistema si ricava:rmin= 1p3 2 d ma solo la soluzione positiva ha senso sico, dunque: rmin=p3 12 d 5