Mathematical Engineering - Fisica Sperimentale 1

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Politecnico di Milano Fisica Sperimentale I a.a. 2009-2010 - Facoltà di Ingegneria dei Sistemi - Ing. Fisica e Ing. Matematica Appello - 06/09/2010 Giustificare le risposte e scrivere in modo chiaro e leggibile. Sostituire i valori numerici solo alla fine, dopo aver ricavato le espressioni letterali. Scrivere in stampatello nome, cognome, matricola e firmare ogni foglio. 1. Si illustri il concetto di forza conservativa e si discuta il legame analitico fra forza conservativa ed energia potenziale. Si consideri un punto materiale di massa m vincolato a muoversi solamente lungo la direzione x, sottoposto all’azione di una forza conservativa la cui energia potenziale è data dalla funzione E POT (x) = a x 2. Ad un certo istante il punto si trova in x = x 0 ed ha una velocità positiva di modulo pari a v 0. a) Si calcoli l’intervallo spaziale all’interno del quale si svolge il moto del punto (x min e x max ) b) Si disegni un grafico del valore della forza, in modulo e segno, esercitata sul punto in funzione della sua posizione [m = 1 kg; a = 5 J/m 2, x 0 = 2 m, v 0. = 4 m/s] 2. Una sbarra di massa M e lunghezza D è appoggiata su un piano orizzontale liscio ed ha uno dei suoi due estremi incernierato in un punto O del piano. Una pallina di gomma, di dimensioni trascurabili e massa M/3, viene lanciata con velocità v 0 (diretta come in figura) contro la sbarra e la urta in modo completamente anelastico in un punto distante D/4 dal vincolo. a) Giustificando la risposta, si discuta quali delle seguenti grandezze fisiche relative al sistema dei due corpi si conservano durante l’urto: quantità di moto, momento angolare e energia cinetica; b) si calcoli la velocità del moto dei due corpi immediatamente dopo l’urto; Si risponda alle stesse domande nel caso in cui la sbarra sia appoggiata sul piano orizzontale, ma non sia presente il vincolo in O. [ 2 , 1 12 CM zASTAI MD = ] 3. Uno yoyo è costituito da un cilindro di massa m e raggio R attorno a cui è avvolto un filo. Supponendo il filo ideale e il punto di sospensione dello yoyo fisso, si calcoli: a) l’accelerazione a con cui lo yoyo scende verso il basso; b) la tensione T del filo. 4. Un recipiente rigido, a pareti adiabatiche e di volume V 0, è separato in due camere da un pistone anch’esso adiabatico, di massa e volume trascurabile, a perfetta tenuta e in grado di muoversi senza attrito. Il pistone inizialmente è vincolato in modo da dividere il recipiente in due parti uguali A e B, in cui sono contenute rispettivamente n e 2n moli di uno stesso gas ideale monoatomico alla temperatura T 0. A un certo istante il pistone viene lasciato libero di muoversi e dopo un breve tempo viene raggiunto una nuova configurazione di equilibrio termodinamico in cui il volume della camera A è pari a 2/3 del volume della camera B. Si determini: a) la temperatura di ognuno dei due gas nella nuova configurazione di equilibrio; b) la variazione di entropia di ognuno dei due gas e dell’universo. [V 0 = 10 litri, n = 0,1 moli, T 0 = 100 °C] v0 D/4 O D n T 0 V 0/2 2n T 0 V 0/2 2 Politecnico di Milano Fisica Sperimentale I a.a. 2009-2010 - Facoltà di Ingegneria dei Sistemi - Ing. Fisica e Ing. Matematica Soluzione dell’appello del 06/09/2010 1. Per la parte di teoria si rimanda ad un opportuno libro di testo. a) In presenza di sole forze conservative, vale il principio di conservazione dell'energia meccanica 22 mecc 0 cin pot 0 0 1 E (x=x ) = E + E = mv + ax 2 Nei punti estremi (x min e x max ), il corpo si ferma; in termini energetici l’energia cinetica del corpo si è trasformata completamente in energia potenziale: 2 mecc min/max cin pot min/ max E (x=x ) = E + E = ax 22 00 22 min/max 0 0 1 mv + ax 1m 2 x = = v + x = 2.27 m a2a ± b) Ricordando il legame tra forza conservativa ed energia potenziale: () pot pot xx F = -grad E dE F = - u F 2ax u dx ⇒⇒=−G JJG JJG GG La forza di interesse nell’intervallo spaziale compreso tra xmin e xmax ha quindi un andamento lineare con pendenza negativa pari a (-2a)=-10 J/m 2 3 2. Si richiamano in primo luogo le equazioni cardinali della dinamica: EXT SIST TOT CM (polo ) EXT (polo ) SIST TOT CM dp FMa dt dL MvMv dt Ω Ω Ω == =+× JJJJJJG JJJJJJG JJJJG JJJJJJJJJJJJJG JJJJJJJJJJJJJJG JJJG JJJJJG a) Nel primo caso durante l’urto agisce una forza esterna (la reazione del vincolo O, che non permette all’asta di muoversi liberamente, ma solo di ruotare intorno ad O). Ne consegue che durante l’urto il sistema non è isolato e la quantità di moto complessiva del sistema non si conserva. In termini di momento angolare e di momenti delle forze, si può osservare che, scegliendo opportunamente il polo in O, tale reazione vincolare non genera alcun momento. Quindi rispetto al polo O si ha la conservazione del momento angolare. Non si conserva invece l’energia cinetica essendo l’urto anelastico. b) Applicando la conservazione del momento angolare rispetto al polo del sistema di due corpi durante l’urto, si ricava la velocità angolare ω con cui i due corpi (uniti dopo l’urto) ruotano intorno al polo O. Conservazione del momento angolare (considerato positivo in verso antiorario) (O) i0 (O) (O) f ASTA 2 (O) 22 ASTA DM L = v 43 DM D L = ω + Iω 43 4 1D1 I = MD + M = MD 12 2 3⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ (O) (O) ifL = L 2 2 0 DM D M 1 v = ω + MDω 43 4 3 3⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ 0 4v ω = 17D c) Nel caso in cui non sia presente il vincolo in O, il sistema di due corpi risulta effettivamente non soggetto a alcuna forza esterna e dopo l’urto asta e la pallina (unite insieme) sono libere di muoversi di moto roto-traslatorio. Ne consegue che durante l’urto si conservano la quantità di moto del sistema e il momento angolare rispetto al CM. Applicando le due leggi di conservazione si ricava la velocità di traslazione del sistema asta+pallina e la velocità di rotazione intorno al CM d) Applicando la conservazione della quantità di moto si ricava la velocità del centro di massa (e quindi la velocità con cui il sistema dei due corpi trasla in avanti dopo l’urto): i0 M P = v 3 fC M P = + M v 3 ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ if 0 CM 0 CM MM P = P v = + M v 33 v v = 4⎛⎞ ⇒ ⎜⎟ ⎝⎠ ⇒ Applicando la conservazione del momento angolare calcolato rispetto al CM (considerato come positivo in verso antiorario) si ricava la velocità angolare con cui il sistema di due corpi ruota intorno al CM. Si deve osservare che il CM del sistema costituito da asta + pallina non coincide esattamente con il CM dell’asta, ma risulta spostando leggermente più in alto. Per semplicità di conti si può trascurare questo spostamento e considerare in prima approssimazione il centro di massa del sistema dei due corpi coincidente con il CM dell’asta. 4 (CM) i0 DM L = - v 43 (CM) (CM) f ASTA DM D L = ω + Iω 43 4 (CM) 2 ASTA 1 I = MD 12 (CM) (CM ) ifL = L 2 2 0CC DM D M 1 -v = ω + MDω 43 4 3 12 ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ 0 C 4v ω = - 5D Il segno negativo della velocità angolare indica che in questo secondo caso il sistema asta+pallina ruotano in senso orario. 3. Prima equazione cardinale della dinamica: CM mg - T = ma Seconda equazione cardinale della dinamica rispetto al polo C (corrispondente al punto di contatto tra yoyo e filo) (C) YoYo mgR = Iα (C) 22 2 YoYo 13 I = mR + mR = mR 22 a α = R Accelerazione 2 3a mgR = Iα = mR 2R 2 a = g 3 Tensione 1 T = mg - ma = mg 3 5 4. Volumi finali AB 2 V = V 3 AB0V + V = V B0A0 B 2 V = V - V = V - V 3 B0 3 V = V = 6 litri 5 AB 2 V = V = 4 litri 3 Primo principio della termodinamica Q = W = 0 ( ) ( ) VA 0 VB 0 ΔU = Q - W = 0 = nc T - T + 2nc T - T 0A B 3T - T T = 2 Equilibrio termodinamico nello stato finale AB f AB nRT 2nRT p = = VV AB B BT2T = 2 V V 3 BA 3 T = T 4 Temperature finali 0A A 3T - T 3 = T 24 A0 6 T = T = 448 K = 175 °C 5 BA 3 T = T = 336 K = 62.7 °C 4 Entropia V 3 c = R 2 p Vc 5 γ = = c3 γγ-1γ-1 f A AA AA AV V V γγ-1γ-1 000 A00 pV nRT V T V ΔS = nc ln = nc ln = nc ln = 0.0425 J/K VVV pnRT T 222 ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ γγ-1γ-1 f B BB BB BV V V γγ-1γ-1 000 B00 pV nRTV TV ΔS = 2nc ln = 2nc ln = 2nc ln = 0.0416 J/K VVV pnRT T 222 ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ AB ΔS = ΔS + ΔS = 0.0841 J/K