Mathematical Engineering - Fisica Sperimentale 1

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Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione Ingegneria Matematica 083024 - FISICA SPERIMENTALE I - a. a. 2017/18 Appello d’esame– 17 luglio 2018 Problema 1 Un corpo puntiforme di massa m, inizialmente fermo, cade da una quota H scivolando lungo una guida liscia (vedi figura). Giunto in fondo alla guida, urta un secondo corpo puntiforme di massa 2m, inizialmente in quiete. Dopo l'urto, il secondo corpo si muove lungo un piano orizzontale scabro, con coefficiente di attrito dinamico  D = 0.5, arrestandosi dopo un tratto di lunghezza L = (2/9)H. (i) Si calcoli le velocità del primo corpo immediatamente dopo l’urto, specificandone il verso del moto. (ii) Si dica, giustificando la risposta, se l'urto è elastico o meno. Problema 2 Si enunci la seconda legge di Keplero, spiegandone il significato fisico e dimostrandone la validità per un corpo soggetto alla sola forza di interazione gravitazionale. Successivamente si risolva il seguente problema: Un asteroide si muove attorno al Sole lungo un’orbita ellittica con afelio r A (massima distanza dal Sole) e perielio r P (minima distanza). Si ricavino le espressioni delle velocità all’afelio e al perielio, v A e v P rispettivamente, in funzione di r A, r P, della massa del Sole M e della costante di gravitazione universale G. Problema 3 Un motore, approssimabile ad un disco pieno di massa M e raggio R, è in grado di produrre una coppia motrice rispetto al suo asse di rotazione di intensità τ 0. Il motore viene utilizzato per mettere in moto – tramite una cinghia inestensibile di massa trascurabile - un volano, approssimabile ad un disco pieno di massa 2M e raggio 4R (si veda figura a lato). Si calcoli, in funzione delle grandezze note, l’accelerazione angolare del volano. Problema 4 Un pendolo semplice di massa M = 20 kg e lunghezza l = 1.5 m è appeso alla parte superiore di un contenitore adiabatico in cui sono contenute n = 3 moli di gas perfetto biatomico. Il gas, alla temperatura T 0 = 300 K, si trova in equilibrio con la pressione atmosferica mediante un pistone mobile anch’esso adiabatico (vedi figura). A un certo punto il pendolo, che inizialmente forma un angolo  = 60° con la verticale, viene lasciato oscillare. Trascurando la capacità termica del pendolo, si determini: - la variazione di temperatura del gas e - la variazione di entropia del gas nel momento in cui cessa ogni movimento macroscopico. H m 2m L τ0 Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione Ingegneria Matematica 083024 - FISICA SPERIMENTALE I - a. a. 2017/18 SOLUZIONE Problema 1 (i) La velocità del primo corpo immediatamente prima dell’urto risulta, per la conservazione dell’energia meccanica: 1 2 IR 5�6 LIC* R 5� L �2C* La velocità del secondo corpo subito dopo l’urto risulta, dal teorema dell’energia meccanica: 1 2 2IR 6�6 L� attr L� �2IC. R 6� L �2� �C. L � 2� �C2 9 * L1 3 �2C* La velocità del primo corpo subito dopo l’urto si può quindi trovare applicando la conservazione della quantità di moto totale: IR 5� LIR 5� E2IR 6� R 5� LR 5� F2R 6� L �2C* F2 3 �2C* L1 3 �2C* (ii) Si può notare che le velocità dei due corpi subito dopo l’urto risultano uguali. Quindi l’urto è perfettamente anelastico, in generale quindi anelastico. Si può arrivare alla stessa conclusione calcolando la variazione di energia cinetica totale: Δ' � L1 2 IR 5�6 E1 2 2IR 6�6 F1 2 IR 5�6 L1 9 IC* E2 9 IC* F IC* L F2 9 IC* O 0 Quindi l’energia cinetica totale diminuisce dopo l’urto, cioè l’urto è anelastico. Problema 2 Per la prima parte si veda un testo di teoria di riferimento. Le velocità nei punti di afelio e perielio si possono ottenere applicando la conservazione del momento angolare e dell’energia meccanica dell’asteroide. Ricordando che nei punti di afelio e perielio il vettore velocità è perpendicolare al vettore posizione, si ottiene: ]IR �N� LIR �N� 1 2IR �6 F)I/ N � L1 2 IR �6 F)I/ N � dove I è la massa dell’asteroide. Mettendo in evidenza le due velocità, si ha: � � � R� LN � N�R� 1 2 lN� N� p 6 R�6 F)/ N � L1 2 R�6 F)/ N � Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione Ingegneria Matematica 083024 - FISICA SPERIMENTALE I - a. a. 2017/18 � � � R� LN � N�R� H lN � N� p 6 F1IR �6 L2)/ d1 N � F1 N � h � � � R� LN � N�R� N�6 FN �6 N�6 R�6 L2)/N � FN � N�N� � � � R� LN � N�R� R�6 L2)/ N � EN � N� N� � � � � �R� L �2)/ N � EN � N� N� R� L �2)/ N � EN � N� N� Problema 3 (i) Le tensioni del tratto superiore e inferiore della cinghia sono in generale diverse. La seconda equazione cardinale della dinamica per il motore e il volano si scrivono rispettivamente: motore → � 4 F46 5 E46 6 L+ ��� volano → 446 5 F446 6 L+ ��� dove: + � L1 2 /4 6; + � L1 2 2/: 44; 6 L16/4 6; � � L4� � Quindi: � 4 F4: 6 5 F6 6; L1 2 /4 64� � 44: 6 5 F6 6; L 16/4 6�� � 4 F4/4 6�� L2/4 6�� da cui: � � L� 4 6/4 6 (ii) Il moto del motore è circolare uniformemente accelerato, co accelerazione angolare: � � L4� � L2� 4 3/4 6 L’intervallo di tempo necessario per compiere 0 giri risulta: 1 2 ��ΔP 6 L02� Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione Ingegneria Matematica 083024 - FISICA SPERIMENTALE I - a. a. 2017/18 ΔP L �4�0 � � L �6�0/4 6 �4 La potenza media sviluppata risulta: 2 L� ΔP L� 42�0 ΔP L �2�0� 47 3/4 6 Problema 4 - Quando lasciato libero, il pendolo compirà delle oscillazioni smorzate dovute all’attrito viscoso causato dalla presenza del gas. Quando il pendolo si ferma nella posizione verticale di equilibrio avrà trasformato la sua energia potenziale iniziale in calore, che risulta positivo dal punto di vista del gas, quindi assorbito: 3 L /CD L /CH: 1 Fcos�; Contemporaneamente il gas può compiere lavoro contro la pressione atmosferica esterna: � LL atm k8� F8 � o Utilizzando il primo principio della termodinamica otteniamo: Δ7 L 3 F � J? � k6� F6_E o L /CH: 1 Fcos�; FL atm k8� F8 � o J? � k6� F6_E o L /CH: 1 Fcos�; FJ4 k6 � F6 � o dove abbiamo utilizzato che le pressioni iniziale e finale del gas sono uguali alla pressione atmosferica. Proseguendo: J: ? � E4; k6 � F6 � o L/CH: 1 Fcos�; Infine: k6 � F6 � o LΔ6 L/CH: 1 Fcos�; J? � Sostituendo i valori si ottiene: Δ6 L 1.69 K - La variazione di entropia dell’universo coincide con quella del gas in quanto l’ambiente non scambia calore con il gas stesso. Sappiamo che la variazione di entropia di un gas perfetto che passa da uno stato iniziale a uno stato finale si può calcolare come: Δ5 L �: �3; rev 6 � � L �Δ7 E � 6 � � L �J? Z@6 E L@8 6 � � LJ? �ln6 � 6� EJ4ln8 � 8� Poiché la pressione finale è uguale a quella iniziale risulta: 8 � 8� LJ46 � Latm Latm J46 � L6 � 6� e quindi: Δ5 L J? �ln6 � 6� EJ4ln6 � 6� LJ? �ln6 � 6� L0.49 J K