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Mathematical Engineering - Fisica Sperimentale 1

Full exam

Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione Ingegneria Matematica 083024 - FISICA SPERIMENTALE I - a. a. 2016/2017 Appello – 24 luglio 2017 Problema 1 Un’auto da corsa entra in una curva approssimabile a un quarto di circonferenza di raggio R = 100 m con una velocità v 0 = 72 km/h. Sapendo che il coefficiente di attrito statico tra pneumatici e asfalto è µ S = 1.8, si determini: a) la massima velocità con cui l’auto può percorrere la curva senza sbandare; 4 PUNTI b) il punto della curva, individuato mediante l’angolo al centro rispetto alla posizione di uscita dalla curva, in cui il pilota può cominciare a imprimere all’auto un’accelerazione pari all’accelerazione di gravità, senza sbandare. 4 PUNTI Problema 2 Si consideri il momento angolare di un corpo celeste soggetto alla sola forza di attrazione gravitazionale. a) Si dimostri che tale grandezza si conserva. 2 PUNTI b) Se ne ricavi l’espressione in un opportuno sistema di riferimento. 2 PUNTI c) Si dimostri, quindi, la validità della seconda legge di Keplero, motivando opportunamente i passaggi seguiti. 4 PUNTI Problema 3 Una corpo puntiforme di massa m, inizialmente in quiete, viene accelerato su un piano orizzontale liscio tramite una molla di costante elastica k, inizialmente compressa di un tratto ∆x a cui il corpo è appoggiato. a) Si calcoli la velocità v 0 del corpo nel momento in cui esso passa per la posizione di equilibrio della molla. 2 PUNTI Successivamente, il corpo prosegue il suo moto sul piano orizzontale e urta in maniera completamente anelastica l’estremo libero di un’asta rigida di massa 3m e lunghezza D, ferma lungo la verticale e con l’altro estremo vincolato a una quota D rispetto al piano orizzontale. Assumendo che l’asta possa ruotare senza attriti attorno a tale vincolo: b) si calcoli di quanto si solleva il centro di massa dell’asta dopo l’urto. 6 PUNTI Problema 4 Una mole di gas perfetto monoatomico si espande eseguendo una trasformazione reversibile descritta nel piano di Clapeyron dall’equazione: p = p 0+aV, con p 0 = 10 5 Pa e a = 10 8 Pa/m 3. Sapendo che il volume iniziale del gas è V 1 = 1 ℓ e il volume finale vale V 2 = 3 ℓ, si calcolino: a) il lavoro compiuto dal gas durante la trasformazione; 3 PUNTI b) il calore scambiato dal gas; 3 PUNTI c) la variazione di entropia dell’ambiente. 2 PUNTI Si specifichi il segno delle grandezze calcolate. Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione Ingegneria Matematica 083024 - FISICA SPERIMENTALE I - a. a. 2016/2017 Soluzione Problema 1 a) La massima velocità con cui l’auto può percorrere la curva senza sbandare si può determinare imponendo il secondo principio della dinamica in direzione radiale: l’unica forza che agisce in questa direzione è la forza di attrito statico: ������������=������ ������ dove ������ è la massa dell’auto e l’accelerazione assume la forma: ������=������ 2 ������ Per la forza di attrito statico risulta: ������ ������≤������ S������������ =������ S������������ Quindi la velocità massima di percorrenza della curva è: ������������ MAX2 ������ = ������ ������( MAX) =������ S������������ ⟹ ������ MAX = ������� S������������ = 42 m/s b) Indichiamo con ������ l’angolo rispetto alla posizione di uscita dalla curva in cui il pilota comincia ad accelerare. Da quel momento l’auto compie un moto circolare uniformemente accelerato, con accelerazione tangenziale pari a g: ������� =������ 0 ������ ������ +������ 2������ ������2 ������MAX =������ 0+������������ da cui si ricava: ⎩ ⎨ ⎧������=������ MAX − ������ 0 ������ ������=������ MAX2 − ������ 02 2 ������������ e quindi: ������=������ S������������ −������ 02 2 ������������ =������ S 2 −������ 02 2 ������������ =0.696 rad=40° Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione Ingegneria Matematica 083024 - FISICA SPERIMENTALE I - a. a. 2016/2017 Problema 2 Si veda un testo di teoria di riferimento Problema 3 a) In assenza di forze non conservative, si ha la conservazione dell’energia meccanica del corpo puntiforme. In particolare, quando il corpo passa per la posizione di equilibrio della molla si ha che l’energia potenziale elastica si è trasformata completamente in energia cinetica del corpo. 1 2 ������∆������ 2= 1 2 ������ ������ 02 ⟹ ������ 0=∆������� ������������ ⁄ b) Si indichi con ω* la velocità angolare acquisita dall’asta immediatamente dopo l’urto. Durante l’urto si può applicare la conservazione del momento angolare rispetto al punto di vincolo dell’asta (definito nel seguito come polo O), in quanto rispetto a tale punto le forze esterne hanno momento nullo: ������������ 0������= ������������ ∗������2+������ ������,������������������������ ������ ������∗ ������ ������,������������������������ ������ = 1 3 ( 3������) ������ 2=������������ 2 Da cui si ricava: ������ ∗=������ 0 2 ������ Successivamente all’urto, la velocità acquisita dall’asta permette al sistema costituito dai due corpi di sollevarsi in quota. In particolare, si indica con ∆H 1 e ∆H 2 la variazione di quota del punto materiale e dell’asta, rispettivamente. Dalla trigonometria si può osservare che ∆H 1 = 2∆H 2. Applicando il principio di conservazione dell’energia meccanica: 1 2 ������������ ∗2������2+1 2 ������������ ,������������������������ ������ ������∗ 2 = ������������∆������ 1+3������������∆������ 2 Da cui si ricava: ∆������ 2=������ 02 2 0������ Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione Ingegneria Matematica 083024 - FISICA SPERIMENTALE I - a. a. 2016/2017 Problema 4 a) Il lavoro può essere calcolato come l’area sottesa alla curva della trasformazione nel piano di Clapeyron. Poiché in questo caso la trasformazione è descritta dalla retta ������=������ 0+ ℒ=1 2 ( ������ 1+������ 2)( ������ 2−������ 1) =1 2 ( ������ 0+������������ 1+������ 0+������������ 2)( ������ 2−������ 1) =������ 0( ������ 2−������ 1) +1 2 ������ ( ������ 22 − ������ 12) =600 J Il lavoro risulta positivo, quindi è compiuto dal gas. b) Dal primo principio della termodinamica risulta: ������=Δ������+ℒ dove: Δ������=������������ ������( ������ 2−������ 1) =3 2 ������������ ������� 2������2 ������������ −������ 1������1 ������������ � =3 2 [( ������ 0+������������ 2) ������ 2−( ������ 0+������������ 1) ������ 1] =3 2 ������0( ������ 2−������ 1) +3 2 ������ ( ������ 22 − ������ 12) Quindi: ������=3 2 ������0( ������ 2−������ 1) +3 2 ������ ( ������ 22 − ������ 12) +������ 0( ������ 2−������ 1) +1 2 ������ ( ������ 22 − ������ 12) =5 2 ������0( ������ 2−������ 1) +2������( ������ 22 − ������ 12) =2100 J Il calore risulta positivo, quindi è assorbito dal gas. c) La trasformazione è reversibile quindi l’entropia dell’universo non varia: Δ������ U=Δ������ GAS +Δ������ AMB =0 Quindi: Δ������ AMB =−Δ������ GAS La variazione di entropia del gas si può calcolare ricordando che per un gas perfetto risulta: ������������=( ������������) REV ������ =������������ +������ℒ ������ =������ ������ ������������������+������������������ ������ =������������ ������ ������������ ������ +������������������������ ������ Integrando dallo stato iniziale a quello finale otteniamo: Δ������ GAS =������������� ������ ������������ ������ ������2 ������1 +������������������������� ������ ������2 ������1 =������������ ������ln������ 2 ������1 + ������������ln������ 2 ������1 = ������������ ������ln������ 2������2 ������1������1 + ������������ln������ 2 ������1 = ������������ ������ln������ 2 ������1 + ������������ ������ln������ 2 ������1 =5 2 ������������ ln������ 2 ������1 +3 2 ������������ ln������ 0+ ������������ 2 ������0+������������ 1 =5 2 ������������ ln3+3 2 ������ ������ln2 =1 2 ������������ ( 5ln3+3ln2) =31.5 J/K Quindi: Δ������ AMB =−Δ������ GAS =−31.5 J/K che risulta negativa.