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Mathematical Engineering - Fisica Sperimentale 1

Full exam

Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione Ingegneria Matematica 083024 - FISICA SPERIMENTALE I - a. a. 2016/2017 Appello – 1 settembre 2017 Problema 1 Un bambino lancia un pallone in direzione orizzontale da un’altezza H rispetto al suolo, imprimendogli una velocità iniziale v 1. Un secondo bambino, a distanza L dal primo, fa scivolare un libro sul suolo imprimendogli la velocità iniziale v 2 (si veda disegno). Si modellizzi il suolo come una superficie scabra con coefficiente di attrito radente dinamico µ D. Sapendo che i due oggetti vengono lanciati nello stesso istante, si determini l’espressione letterale di L (funzione di v 1, v 2, H, µ D e dell’accelerazione di gravità) affinché i due oggetti (approssimabili a corpi puntiformi) si urtino. Problema 2 Un satellite di massa m 1 si muove attorno alla Terra lungo un’orbita circolare con velocità v 1 = 3 km/s. Un corpo di massa m 2 = 5m 1 con velocità v 2 = 10 km/s urta il satellite in maniera perfettamente anelastica lungo la direzione normale alla traiettoria. Si determini: a) la distanza R tra il centro della Terra e il satellite prima dell’urto; b) il modulo v F della velocità dopo l’urto del nuovo corpo che si forma; c) si indichi se la nuova velocità v F permette a tale corpo di sfuggire dal campo gravitazionale terrestre. [Massa della Terra M T = 6·10 24 kg; Costante di gravitazione universale G = 6.67·10 -11 Nm 2/kg 2] Problema 3 Una ruota cilindrica omogenea di massa m e raggio R viene fatta rotolare senza strisciare su di un piano orizzontale scabro tramite una forza costante ������⃗ 0, inclinata di un angolo θ rispetto all’orizzontale e applicata come in figura. Nell’ipotesi che la ruota non si sollevi dal piano, determinare: a) l’accelerazione del centro di massa della ruota; b) il minimo coefficiente d’attrito statico μ s affinché la ruota non scivoli sul piano orizzontale. Problema 4 a) Si riporti l’enunciato del teorema di Clausius per una trasformazione ciclica, definendo opportunamente le grandezze che vi compaiono. b) Facendo uso di tale enunciato, si ricavi il rendimento della macchina di Carnot. y x m, R �������⃗0 θ H L v1 v2 µD Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione Ingegneria Matematica 083024 - FISICA SPERIMENTALE I - a. a. 2016/2017 Appello – 1 settembre 2017 - SOLUZIONE Problema 1 Legge oraria del moto del pallone rispetto al sistema di riferimento Oxy disegnato in figura: ������� ( ������) =������ 1������ ������( ������) =������−������ ������ 2 2 Legge oraria del moto del libro rispetto al sistema di riferimento O*x* disegnato in figura: ������ ∗(������) =������ 2������−������ ������������ ������ 2 2 I due oggetti si possono urtare solo nell’istante t 1 in cui il pallone tocca il suolo: ������( ������ 1)=0 ⇒ ������ 1= � 2������ ������ , istante in cui i due oggetti avranno raggiunto una distanza orizzontale dalla rispettiva origine pari a: ������( ������ 1)=������ 1�2 ������ ������ ������ ∗(������1)=������ 2�2 ������ ������ −������ ������������ Applicando la condizione di incontro tra i due oggetti: ������ ∗( ������1)=������− ������( ������ 1), si ottiene: ������=( ������ 1+������ 2) �2 ������ ������ −������ ������������ x v1 v2 y x* O O* Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione Ingegneria Matematica 083024 - FISICA SPERIMENTALE I - a. a. 2016/2017 Problema 2 a) Si applica la seconda legge della dinamica. Trattandosi di una traiettoria circolare, la forza gravitazionale si comporterà come una forza centripeta: ������������ 1������������ ������2 = ������1������12 ������ ⇒ ������= ������������ ������ ������12 = 44500 Km. b) Si tratta di un urto perfettamente anelastico non centrale. Si applica la conservazione della quantità di moto (relazione vettoriale), scomponendo tale relazione rispetto ad un sistema di riferimento xy con x coincidente in direzione e verso con la velocità iniziale del corpo m 2 e y coincidente in direzione e verso con la velocità iniziale del satellite m 1: x: m 2v2 = (m 1 + m 2) v FIN,x y: m 1v1 = (m 1 + m 2) v FIN,y Risolvendo, si ottiene: ������������������������ = ������� ������������������ ,������2 + ������ ������������������,������2 = ⋯= � 25������ 22+ ������ 12 6 = 8.3 km/s c) Perchè il nuovo corpo possa sfuggire al campo gravitazionale terrestre è necessario che possieda una energia meccanica totale positiva o nulla, come è possibile verificare dal calcolo in calce: ������������������������ =− ������(������1+������ 2)������������ ������ + 1 2(������ 1+������ 2) ������ ������������������2 = − ������6������ 1������������ ������ +3������ 125������ 22+ ������ 12 36 =…= (2497- 50) m 1·10 6 J > 0 Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione Ingegneria Matematica 083024 - FISICA SPERIMENTALE I - a. a. 2016/2017 Problema 3 a) Esprimiamo il momento delle forze che agiscono sul corpo rigido rispetto al centro di istantanea rotazione O: M (O) = I z(O) α → R F 0 cosθ = 3 2������ ������ 2α → α = 2������0������������������������ 3������������ → a CM = α R = 2������0������������������������ 3������ b) Le equazioni di bilancio delle forze che agiscono sul corpo sono: y: N + F 0 sinθ – mg = 0 (1) x: F 0 cosθ - F att = ma cm da cui: ������= ������������−������ 0������������������������ ������ ������������������ =1 3 ������0������������������������ Imponendo la condizione di validità della forza d’attrito statico, per cui il suo modulo può assumere al massimo il valore µ s N, si ottiene: 1 3 ������0������������������������≤µ ������( ������������−������ 0������������������������) ⇒ µ ������≥ ������ 0������������������������ 3( ������������−������ 0sin������) Problema 4 Si veda un testo di teoria di riferimento. y x F0 θ Fatt Fp = mg N O cm