Mathematical Engineering - Fisica Sperimentale 1

01 - CalcoloVettoriale

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CALCOLO VETTORIALE TESTI CV1 Un aeroplano viaggia per 200 Km verso Ovest, quindi per 300 Km in direzione Nord-Ovest inclinato di un angolo θ=60° sull’asse Est-Ovest. Determinare lo spostamento finale S specificandole modulo e angolo di inclinazione rispetto all’asse Est-Ovest. CV2 Sia dato il vettore A = 3i – 2j + 5k. Calcolarne il modulo ed i coseni direttori. [Suggerimento: i coseni direttori di un vettore sono i coseni degli angoli convessi che il vettore forma con i tre assi cartesiani ] CV3 Dimostrare che i tre vettori a, b, c formano un triangolo rettangolo. a = 6i – 4j + 2k; b = 2i – 6j + 10k; c = 4i + 2j – 8k CV4 Dato il punto P(1,2,2) trovare il piano passante per P ed ortogonale al vettore (P – O), essendo O l’origine del sistema di riferimento cartesiano. CV5 Proiettare il vettore a = (3, 2 2, 4) sulla retta bisettrice del quadrante xy. CV6 1)Verificare che i vettori a, b sono perpendicolari: a = i + j + k; b = 2i – j – k 2) Verificare che i vettori c, d sono paralleli: c = 2i – j + k; d = 4i – 2j + 2k 3) Calcolare il volume del parallelepipedo individuato dai vettori a, b, c e dire se i tre vettori formano una terna destrorsa o sinistrorsa ? CV7 Dati i vettori a e b trovare: 1) l’angolo θ compreso tra i due vettori; 2) il vettore componente di a parallelo a b espresso in componenti cartesiane. a = 3i – j – 2k; b = –i + 2j + 7k CV8 Dati i vettori a, b, c, d calcolare: 1) i loro moduli; 2) i loro coseni direttori; 3) il vettore somma a + b + c + d; 4) il vettore differenza a – b; 5) i vettori 5a, -b, - 3c; 6) i prodotti scalari a•b, c•d; 7) i prodotti vettoriali a×b, c×d a = i + 3j – k; b = i – 2k; c = i – 3j; d = 0.5i CV9 Determinare il vettore parallelo ad a = 4i + j + k e avente modulo uguale a 4. RISULTATI CV1 Km S S S S436 cos 2 2 1 2 2 2 1 = + + = ϑ S ° = ⇒ = + =36 74 . 0 cos ) ( 2 12 γ ϑ ϑ γ γ S Ssen S tgSOvest - Est asse all' rispetto S o spostament vettore del ne inclinazio di an golo l' ia CV2 () () () ° = ⇒ = =° = ⇒ − = =° = ⇒ = == + + = 36 81 . 0 cos169 32 . 0 cos61 49 . 0 cos16 . 6 2 2 2 γ γβ βα α AA A A zy xz y xAA AA A A CV3 Si verifica che a + b = c, da cui i 3 vettori formano un triangolo; per verificare che il triangolo è rettangolo si deve poi verificare che due vettori sono tra loro ortogonali, ovvero che il loro prodotto scalare e’ nullo. In questo caso si verifica che a e c sono ortogonali. CV4 Piano π: x + 2y + 2z = 9 CV5 Il versore della direzione della bisettrice del quadrante xy (I quadrante) e’: 2 y xu u u B + = La componente di a lungo tale direzione vale a B=a•u B = 4.12 CV6 1) Si verifica che a•b=0 2) Si verifica che c×d=0 3) Il volume del parallelepipedo formato da 3 vettori è pari al modulo del prodotto misto tra essi (tra l’altro è possibile dimostrare che il modulo del prodotto misto non dipende dall’ordine in cui vengono considerati i tre vettori): Volume= |(a×b) •c| = 4. Il segno negativo del triplo prodotto misto indica che i tre vettori formano una terna sinistrorsa CV7 1) Per calcolare l’angolo compreso tra due vettori si sfrutta la definizione di prodotti scalare tra due vettori: a•b=|a||b| cosθ. Da cui: cosθ=a•b/(|a||b|)= - 0.69 => θ = 133° 2) Si calcola prima la componente di a lungo direzione di b (ricordando di nuovo la definizione di prodotto scalare): a b = a•b/|b|=-19/(54) 1/2 . Il vettore componente di a lungo direzione di b è semplicemente a b·u b, dove u b = b/|b|=(-i + 2j +7k)/ (54) 1/2 Ne risulta quindi che il vettore a b = a b·u b = (-i + 2j +7k)·(-19/54) =0.35i – 0.7j –2.46k CV8 1) |a|= (11) 1/2 |b|=(5) 1/2 |c|=2 |d|=0.5 2) a x/|a| = 1/(11) 1/2 a y/|a| = 3/(11) 1/2 a z/|a|=-1/(11) 1/2 etc. etc. 3) a + b + c + d = 3.5i + (3-(3) 1/2 )j –3k 4) a – b = 3j + k 5) 5a = 5i + 15j – 5k -b=-i + 2k -3c = -3i + 3(3) 1/2 j 6) a•b = 3 c•d = 0.5 7) a×b = -6i + j + 3k c×d = (3) 1/2 /2 k CV9 Si determina prima la direzione del vettore a tramite il suo versore u a: u a = a/|a|=(4i + j +k)/ (18) 1/2 = (4i + j +k)/ (3(2) 1/2 ) Il vettore desiderato sarà quindi dato da: v = 8u a =8·(4i + j +k)/ (18) 1/2