Mathematical Engineering - Fisica Sperimentale 1

05 - MotoPiano

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MOTO PIANO TESTI CN8 Esercizio di riepilogo sulle definizioni di vettore velocità e accelerazione e la scomposizione di quest’ultimo in componenti tangente e normale: Sono date in funzione del tempo le coordinate di un punto materiale in movimento: x(t)=t 2; y(t)=2t; z(t)=0. Determinare l’eq. cartesiana della traiettoria, l’acc. tangenziale, l’acc. normale ed il raggio di curvatura. CN9 Moto circolare uniformemente accelerato: problema diretto (dalla legge oraria alla velocità e accelerazione): Un punto materiale si muove su una circonferenza di raggio R percorrendola in verso antiorario. La sua posizione sulla circonferenza in funzione del tempo è determinata dall’angolo θ=t 2+2t formato dal raggio vettore con l’asse delle ascisse preso come origine degli angoli. Determinare velocità angolare ω, l’accelerazione angolare α in funzione del tempo e la legge oraria per lo spostamento curvilineo s. CN10 Moto circolare uniformemente accelerato: problema inverso Un punto materiale percorre una traiettoria circolare di raggio R con accelerazione angolare α costante. Calcolare il vettore accelerazione nell’istante iniziale in cui il punto parte da fermo dalla posizione O indicata in figura e nell’istante in cui compie il primo giro. CN11 Moto circolare vario: Su una pista circolare di raggio R=150m un ciclista parte da fermo, si muove con acc. tangenziale a T costante fino all’istante t 1 in cui l’acc. vettoriale forma un angolo di 45º con la velocità. Da questo istante mantiene una velocità costante di modulo v 1. Si calcoli la lunghezza del tratto L 1 percorso fino all’istante t 1. Inoltre, sapendo che il ciclista impiega un tempo T=2min per fare il primo giro di pista calcolare il valore dell’accelerazione tangenziale che possedeva nel primo tratto di pista. CN12 La pista ciclistica di un velodromo, di lunghezza complessiva L=400 m, ha il profilo indicato in figura; i tratti rettilinei hanno lunghezza L1=120 m, mentre i tratti curvilinei sono semicircolari di ugual raggio. Se un ciclista percorre un chilometro lanciato con velocità costante v in un tempo T=1min e 11s, determinare l’accelerazione centripeta cui e’ soggetto il ciclista nelle curve e la velocità angolare con cui il ciclista percorre le curve. CN13 Un punto materiale si muove lungo l’asse x con accelerazione a=-kv 2 con k costante e v velocità istantanea. Per t=0 il corpo passa per l’origine con velocità v 0; ricavare posizione e velocità istantanea in funzione del tempo e la distanza x1 dall’origine in cui la velocità istantanea si è ridotta di un fattore 1/e. O R R L1 RISULTATI CN8 y(t) = ±(2x) 1/2 o alternativamente x(y)=y 2/4 Dalla legge oraria del moto in componenti cartesiane è possibile ricavare le componenti cartesiane di velocità e accelerazione, ossia i vettori velocità e accelerazione : v(t) = 2ti + 2j a(t) = 2i Dalla conoscenza del vettore velocità è possibile ricavare la velocità scalare (pari al modulo della velocità vettoriale) e il versore tangente ; infatti : 1 1 2) ( 21 2 4 4 ) ( 2 22 2+ + = + + = =+ = + = = t t t tt t t v j i j i v(t) v(t) uv(t) T Sfruttando la definizione di prodotto scalare e è possibile a questo punto calcorare i vettori accelerazione tangente e normale e il raggio di curvatura della traiettoria al variare del tempo: () () () 2 / 3 2 22 222 2 22 2 1 2 ...1 1 2 ...1 2 ...1 2 1 1 21 2 1 2 t avt t at tt tt t t tt att t t a N NT T + = = =+ + = = =− + = = − =+ + = + + + = =+ = + + • = • = ρ NT NT TTaj i a a aj i j i u aj i i u a CN9 Sia k il versore ortogonale al piano del moto con verso uscente. ω(t) = (2t+2)k α(t) = 2k s(t) = R(t 2 + 2t) CN10 a(0 secondi) = αR u T = αRj a(t1) = αR u T + 4πα R u N=α R j - 4πα R i CN11 L’accelerazione vettoriale è data dalla soma dell’accelerazione tangente e dell’accelerazione normale. Nell’intervallo di tempo tra 0 e t1, l’accelerazione tangente è costante in modulo e pari a αR, mentre l’accelerazione normale, inizialmente nulla, cresce come il quadrato del tempo. Si deduce quindi che il vettore accelerazione complessivo, all’istante iniziale diretto come la tangente alla traiettoria, con l’evolvere del tempo modifica la propria direzione piegando verso l’interno della circonferenza. In particolare, all’istante t1 il vettore accelerazione forma un angolo di 45° con la direzione tangente. Ma allora dovrà formare un aT aN a angolo di 45° anche con la direzione normale e si può quindi dedurre che in tale istante la componente tangente e la componente normale dell’accelerazione devono avere lo stesso valore. Fatta questa osservazione si può ricavare il valore dell’istante di tempo t1 e risolvere l’esercizio. L 1 = R/2 = 75 m |a T| = R*(2 π+ 1/2) 2/T 2 = 0.48 m/s 2 CN12 a C = v 2/R = 7.78 m/s 2 w = v/R = 0.55 rad/s CN13 kt v v t v v t v ktk t vdv k dtkvdv dt dt dv kv a v v v v v t 0 0 00 02 02 2 1 ) ( ... 1 ) (11 1 1 + = ⇒ ⇒ − = ⇒− = ⇒ − = ⇒⇒ − = ⇒ = − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ∫ ∫ v(t) = v 0/(1 + kv 0t) x(t) = 1/k * log e(1+kv 0t) x1 = 1/k