Mathematical Engineering - Fisica Sperimentale 1

21 - Tmd - Gas perfetti e I principio

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Esercitazioni di Fisica Termodinamica ________________________________________________________________________________ 1 Gas perfetti e primo principio della Termodinamica Esercizio 1 Un recipiente cilindrico, con base circolare di raggio 14 cm r= , a pareti rigide adiatermane (ossia adiabatiche), chiuso da un pistone adiatermano di massa trascurabile, contiene =1.5 n moli di gas perfetto biatomico alla temperatura 25 °C T= . All’esterno la pressione è 1 atm Ap=. Il tutto è in equilibrio. A un certo istante sopra il pistone viene appoggiato un corpo di massa 30 kg m= . Il sistema raggiunge un nuovo equilibrio. Calcolare la temperatura finale FT. [Il gas compie una trasformazione adiabatica irreversibile; 2 2 29 7C F A mgT TT rp π =+ = ° ] Esercizio 2 Si consideri una trasformazione reversibile di un gas perfetto la cui capacità termica c resta costante. Dimostrare che l’equazione della trasformazione è cost TV α= . Calcolare α . [OSSERVAZIONE: si sfrutti la definizione di calore specifico molare di una generica trasformazione, il primo principio della termodinamica e la definizione di lavoro] 11 1 1 ... V VV V V nc dT pdV dQ dU dL pdV nRT dV ccc ndT n dT n dT dT nV dT cc RT dV dT dV cc VdT R T V+ + ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛ ⎞ == = =+=+ ⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝ ⎠ ⎝⎠ − ⇒− = ⇒ = ⇒ [ VP Vcc cc α − = − ] Esercizio 3 Una quantità di azoto pari a 1 g m=, considerato approssimativamente un gas perfetto biatomico con peso molecolare 28 M= , compie un ciclo termodinamico composto da: a) Espansione isoterma da V A a V 3V BA= alla temperatura di 1 380 °C T= . b) Espansione adiabatica da V B a V C con temperatura finale di 2 327 °C T= . c) Compressione isoterma fino da V C a V A. d) Trasformazione isocora fino alla pressione iniziale. Disegnare nel piano P-V il ciclo così descritto e calcolare il lavoro L compiuto dal gas. [OSSERVAZIONE: il numero di moli di azoto è calcolabile come il rapporto tra la massa m e il peso molecolare M di una molecola di azoto. Infatti, una quantità in grammi di un dato composto pari al suo peso molecolare contiene 6,022 · 10 23 molecole di sostanza, ossia una mole di sostanza. Quindi in questo caso: n=m/M=1/28 mol= 0,036 mol] [ ,.. , .. ,.. 1 1 2 2 55 ln ( ) ln 22 213 39 233 19 C B AB isot rev BC adiab rev CD isot rev ADV V LL L L nRT nRTT nRT VV JJ JJ ⎛⎞ ⎛ ⎞ =+ += +−− = ⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎠ ⎝ ⎠ =+−=] Esercizio 4 Un gas perfetto biatomico si espande seguendo una trasformazione reversibile dallo stato A allo stato B lungo il quale il prodotto TV si mantiene costante. Noti AT e il rapporto VVAB calcolare la variazione di energia interna, il calore assorbito e il calore molare. Esercitazioni di Fisica Termodinamica ________________________________________________________________________________ 2 [OSSERVAZIONE: la trasformazione non avviene né a volume, né a pressione costante. Il calore specifico della trasformazione va quindi calcolato a partire dalla conoscenza del calore scambiato in corrispondenza della variazione di temperatura T B-T A] [ () 55 1 22 A BA A BV UnRTT nRT V ⎛⎞ Δ= − = − ⎜⎟ ⎝⎠ , 2 11 1 A AA AA A AB BV dV dV L pdV nRT nRT V nRT V nRT VVVV V⎛⎞ ⎛⎞ == = = −=− − ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ ∫∫ ∫ 3 1 2 A A BV QUL nRT V ⎛⎞ =Δ + = − ⎜⎟ ⎝⎠ , R c 2 3 =] Esercizio 5 Un gas perfetto monoatomico compie un ciclo termico reversibile formato da una trasformazione adiabatica seguita da una trasformazione isobara e da una isocora. Si calcoli il rendimento del ciclo conoscendo il rapporto MAX MIN rT T= tra la temperatura massima e la temperatura minima e il rapporto MAX MIN sV V= tra il volume massimo e il volume minimo. [OSSERVAZIONE: per risolvere correttamente l’esercizio è importante osservare che, chiamato ABC il ciclo con partenza dall’espansione adiabatica, la temperatura massima T MAX sia ha nello stato iniziale A, mentre la temperatura T MIN viene raggiunta nello stato C. Infatti il gas espandendosi in maniera adiabatica si raffredda e poi, riducendo il proprio volume a pressione costante, si raffredda ulteriormente.] [ 1 1 1 1 5 con = 3 P V rs r c c γ ηγ γ − ⎛⎞ − =− ⎜⎟ − ⎝⎠ =] Esercizio 6 Un recipiente con tutte le pareti adiabatiche eccetto quella di sinistra è diviso in due parti da un pistone, anch’esso adiabatico, che può scorrere senza attrito. In ognuna delle due parti sono contenuti un volume 0 100 l V=itri di gas ideale monoatomico inizialmente a pressione 0 1 atm p= e temperatura 0 10 °C T=. Alla parte di sinistra è fornito calore finchè la pressione del gas contenuto nella parte di destra raggiunge, con una trasformazione reversibile, la pressione di 5 atm Dp=. Si calcolino il lavoro L compiuto sul gas di destra e le temperature finali DT, ST dei due gas. [OSSERVAZIONE: per risolvere l’esercizio è fondamentale osservare che il gas contenuto nella parte di destra del recipiente subisce una compressione reversibile (sotto l’azione della parte sinistra del recipiente). Ma essendo contenuto nella parte del recipiente con tutte le pareti adiabatiche, si tratta di una compressione adiabatica reversibile . Quindi durante la trasformazione, e in particolare nello stato iniziale e finale, le variabili termodinamiche che caratterizzano il gas di destra sono legate tra loro dalle relazioni pV γ=cost o TV γ-1=cost] [ 1 0 0 539 K D Dp TT p γ γ− ⎛⎞ == ⎜⎟ ⎝⎠, K 2291 2 1 0 0 0 = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = γ D D Spp p p T T, 1 4 00 0 3 11.3710 2 J Dp LpV p γ γ− ⎡⎤ ⎛⎞ ⎢⎥ =−=⋅ ⎜⎟ ⎢⎥ ⎝⎠ ⎢⎥ ⎣⎦ 5 con = 3 P Vc c γ = ] Esercitazioni di Fisica Termodinamica ________________________________________________________________________________ 3 Esercizio 7 Due recipienti a pareti rigide e adiatermane (ossia adiabatiche) di volume V sono collegati mediante una valvola inizialmente chiusa. Uno dei due recipienti contiene un gas ideale a 1 0.5 atm p= e 1 20 °C T= , mentre l’altro un gas della medesima natura a 2 1 at m p= e 2 80 °C T = . Una volta aperta la valvola, trascurando la capacità termica dei recipienti, si dica a quali valori di pressione fp e temperatura fT giunge il sistema all’equilibrio. [OSSERVAZIONE: il contenitore, costituito dai due recipienti, non scambia né calore, né lavoro con l’ambiente circostante (essendo a pareti rigide e adiabatiche). Ne consegue, per il primo principio della termodinamica, che l’energia interna del sistema termodinamico costituito dai due gas non varia durante il processo di miscelazione; ossia, mentre uno dei due gas aumenta la propria energia interna, l’altro gas la diminuisce della stessa quantità: ΔUsist = 0 ⇒ ΔU1+ΔU2=0. Sfruttando poi l’equazione di stato dei gas perfetti e l’espressione dell’energia interna per un gas perfetto è possibile arrivare alla soluzione] [ 12 12 12 330 K f pp T pp TT + == +, () atm 75 . 0 2 1 2 1 = + =p p p f ] Esercizio 8 Un gas perfetto monoatomico compie la trasformazione reversibile rappresentata in figura. Sapendo che 3 2 B AV V= e 1 2 B Ap p= si calcoli il calore scambiato Q. [OSSERVAZIONE: la trasformazione non è né isoterma, né adiabatica, né isocora, né isobara. E’ possibile calcolare il calore scambiato sfruttando il primo principio della termodinamica e il legame che caratterizza le variabili termodinamiche durante la trasformazione. In particolare, conviene calcolare graficamente il lavoro fatto dal gas durante l’espansione come l’area sottesa dal segmento AB] [ Q = 0 ] Esercizio 9 Un cilindro, chiuso da un pistone ideale, contiene una mole di gas monoatomico. Il pistone è collegato al fondo del recipiente tramite una molla di costante elastica k e lunghezza a riposo nulla. Il gas inizialmente in equilibrio assorbe una quantità di calore 2 kJ Q = e la sua temperatura varia di 100 K T Δ= . Si calcoli la variazione di volume VΔ del gas. (Pressione atmosferica 5 10 Pa Ap= e 8.31 J K mol R=⋅ ) [ () 2 2 6.76 l A VQRT p Δ= − Δ =] Esercizio 10 Due moli di gas perfetto biatomico a pressione 0 1 atm p= e temperatura 0 20 °C T= sono contenute in un recipiente adiabatico chiuso da un pistone inizialmente bloccato da un fermo. Nel recipiente è contenuto un mulinello accoppiato con un motore di potenza P = 800 W. Il motore viene avviato per un tempo 120 s t Δ= e viene poi spento lasciando raggiungere l’equilibrio al gas. Trovare la A B p V V A V B p B p A Esercitazioni di Fisica Termodinamica ________________________________________________________________________________ 4 pressione 1p e la temperatura T 1 raggiunte dal gas. In seguito viene rimosso il fermo del pistone consentendo al gas di espandersi e di raggiungere l’equilibrio con la pressione atmosferica esterna. Determinare la temperatura fT raggiunta dal gas. [OSSERVAZIONE: nella prima trasformazione il gas viene scaldato (mantenendo il proprio volume costante) grazie al lavoro fatto dal mulinello. Nella seconda trasformazione il gas si espande diabaticamente e in maniera irreversibile] [ 1 10 1 0 0 2603K, 8, 9 V T Pt TT p p atm nc T Δ =+ = = = ; T f = 1943K = 1670°C ] Esercizio 11 Un fucile ad aria compressa dotato di una camera di volume 0V dove la pressione dell’aria è 0p , con una canna lunga l e di sezione S. Considerando la massa del proiettile pari a pm, si determini la velocità pv del proiettile, ipotizzando l’espansione dell’aria compressa come una trasformazione reversibile senza scambio di calore. (Si consideri l’aria un gas perfetto biatomico). [OSSERVAZIONE: Si calcola il lavoro di espansione dell’aria compressa come il lavoro fatto in una espansione adiabatica reversibile dal volume V 0 al volune V 0 + S·l. Trascurando la presenza di attriti si può assumere che tale lavoro si trasformi completamente in energia cinetica del proiettile] ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − = −1 00 0 0 1 5 γ lS VV mV p v p p Esercizio 12 Un cilindro con capacità termica C = 5 J/K chiuso da un pistone ideale contiene 0.5 n= moli di gas monoatomico in equilibrio. Successivamente si applica una forza costante al pistone fino a tanto che la pressione diventa 5 210 Pa fp=⋅ . Sapendo che la variazione di volume è pari a -3 3 -10 m VΔ=, trascurando gli scambi di calore con l’ambiente esterno si calcoli la variazione di temperatura TΔ del sistema. [OSSERVAZIONE: Il lavoro subito dal gas sotto l’azione della forza esterna è calcolabile come L gas =-|L ext|=p fΔV. Tale lavoro provoca l’aumento della pressione e della temperatura del gas e quindi l’aumento dell’energia interna del gas. Inoltre, si deve osservare che il gas non si trova in un contenitore adiabatico, ma in un contenitore con capacità termica non nulla. Quindi, l’energia termica accumulata nel gas in parte viene ceduta al contenitore cilindrico che innalza anch’esso la sua temperatura. Dal primo principio della termodinamica si ha quindi: ΔUgas = Q gas – L gas ; Q gas = calore ceduto dal gas al recipiente = - calore assorbito dal recipiente per innalzare la propria temperatura=-C ΔT] [ K C ncV p T vf 8 . 17 = + Δ − = Δ] Esercizio 13 L’equazione di stato e l’energia interna di una mole di un particolare gas sono espresse dalle relazioni: ( p+a)V = RT , U = cVT+bT 2+aV +cost, Esercitazioni di Fisica Termodinamica ________________________________________________________________________________ 5 dove a, b e cV sono costanti. Si ricavi il calore molare a pressione costante pc del gas. [ 2 pVccRbT =++] Esercizio 14 A seguito di una trasformazione la pressione di una mole di gas perfetto monoatomico passa da 0p a 0 1 2 p p = e la temperatura diminuisce di 900 K T Δ = . Se il gas viene riportato nello stato iniziale con una trasformazione isobara seguita da una trasformazione isocora esso scambia una quantità di calore pari a Q . Se invece esegue prima una trasformazione isocora e successivamente una trasformazione isobara scambia una quantità di calore pari a 1 6 5 QQ =. Si calcoli il valore di Q precisando se si tratta di calore assorbito o ceduto dal gas. [ 5 14030 4 v QncT J =Δ=] Esercizio 15 Una miscela composta da idrogeno ed elio in egual numero di moli occupante un volume iV viene compressa in maniera adiabatica e reversibile fino al volume 2 i fV V= . Considerando questi gas come ideali, si calcoli il rapporto tra la pressione finale fp e iniziale ip della miscela. OSSERVAZIONE: la trasformazione, adiabatica e reversibile, è caratterizzata dalla relazione pV γ=cost. Il problema quindi si riconduce al calcolo del valore di γ per la miscela di gas in questione, ossia al calcolo del calore specifico a volume costante c V della miscela: 2 22 2 ,, 11 11 1135135 ... 2 22222 32 He H V VV TOT TOT TOT TOT He V He H V H He H TOT TOT V P VV dU dU dQ dU dL dU c n dT n dT n dT n dT n c dT n c dT n Rn R nRnR R ndTn n cR c cc γ + ⎛⎞ + ⎛⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ == == = ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝⎠ + ⎛⎞ ⎛⎞⎛⎞ ==+=+== ⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠ ⎝⎠ + ⇒= = = [ 3 2 3 2 f i ifp V pV⎛⎞ == ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ] A p0 p 0/2 B VA V B A p0 p 0/2 B VA V B Esercitazioni di Fisica Termodinamica ________________________________________________________________________________ 6 Esercizio 16 Un cilindro contenente elio è posto a contatto con una sorgente di calore ed è chiuso da un pistone di massa trascurabile che può scorrere senza attriti. Inizialmente il pistone si trova ad un’altezza 20 cm h= dalla base del sistema e la pressione atmosferica lo mantiene in equilibrio. Successivamente si posa sul pistone una massa 10 kg m = . Determinare il calore Q che il gas scambia con la sorgente per raggiungere il nuovo stato di equilibrio. [OSSERVAZIONE: Si tratta di una compressione isoterma irreversibile] [ 19.6 J Qmgh =− =−] Esercizio 17 Un numero n di moli di un gas perfetto monoatomico sono contenute in un recipiente a pareti adiabatiche, chiuso da un pistone anch’esso adiabatico, di massa trascurabile e sezione S. Sul pistone è appoggiato un blocco di massa m e il pistone è in equilibrio quando la temperatura del gas è Ti. Il blocco viene rimosso ed il gas si espande fino a raggiungere l’equilibrio alla pressione atmosferica pari a p0. Si determinino all’equilibrio il volume finale Vf e la temperatura finale Tf. [OSSERVAZIONE: Si tratta di una espansione adiabatica irreversibile] ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + =i f i fT S mg pp p nR V T S mg pp T 00 0 00 2 3 5 2 ; 2 3 52