Mathematical Engineering - Fisica Sperimentale 1

22 - Tmd - II principio

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Esercitazioni di Fisica Termodinamica ________________________________________________________________________________ 1 Secondo principio della Termodinamica e macchine termiche Esercizio 1 Una massa 10 Kg m= di glicerina inizialmente a temperatura 1 12 °C t= viene portata a temperatura 2 27 °C t= ponendola a contatto termico con una sorgente a tale temperatura. Determinare la variazione di entropia dell’universo a seguito del processo descritto. Si assuma il calore specifico della glicerina c = 2.38 ⋅10 3 J kg -1 K -1 costante nell’intervallo di temperatura considerato. [ 221 12 ln 30.8 J K UNIV GLIC SORG TTT SSSmc mc TT ⎛⎞ − Δ=Δ+Δ = − = ⎜⎟ ⎝⎠ ] Esercizio 2 Due corpi di massa 1 10 g m= e 2 30 g m= si trovano rispettivamente alle temperature di 1 10 K T = e 2 100 K T= . Il materiale che li costituisce in questo intervallo di temperatura ha un calore specifico a volume costante che dipende dalla temperatura secondo la legge 3 V caT= con a = 1.25 ⋅10 -3 J kg -1 K -4. Calcolare: a) la temperatura raggiunta dai corpi se vengono posti a contatto termico mantenendone costante il volume; b) la variazione di entropia del sistema. [ 44 11 2 2 4 12 93.1 K EQ mT m T T mm+ == + , () () 33 33 12 12 1 2 0.93 J/K 33 SIST EQ EQ ma m a SSS TT TT Δ=Δ+Δ= −+ −=] Esercizio 3 Un recipiente a pareti rigide adiatermane è diviso in due parti uguali da un setto rigido isolante. Uno dei due volumi contiene una mole di elio a temperatura 1 445 K T= , l’altro contiene una mole di azoto alla temperatura 2 280 K T=. Si sostituisce al setto isolante un diaframma permeabile al calore e all’elio. Si calcoli la temperatura di equilibrio finale e la variazione di entropia del sistema nell’ipotesi che i gas siano perfetti. Si consideri 2 cal (mol K) R= . [ 111 2 22 11 2 2 342 K VV EQ VV nc T n c T T nc n c+ == +, () 11 1 2 2 12 ln ln 2 ln 6.7 J K EQ EQ SIST V VTT Snc nR nc TT ⎛⎞ ⎛⎞ Δ= + + = ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ ] Esercizio 4 Per un gas perfetto si dimostri che a parità di rapporto tra volume iniziale e volume finale, il lavoro compiuto in una trasformazione adiabatica è massimo se la trasformazione è reversibile. [ 1 1 1 1 exp 1 V V R c F REV R IRREV c F V V V L L VS Vnc − − ⎛⎞ ⎛⎞ ⎜⎟ − ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎜⎟ ⎝⎠ = ≥ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ Δ ⎜⎟ − ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎜⎟ ⎝⎠ ] Esercizio 5 Una macchina termica funziona tra due sorgenti a temperatura rispettivamente di 1 100 °C T= e 2 0 °C T=. La sorgente fredda è costituita da una grande massa di acqua e ghiaccio. Il rendimento Esercitazioni di Fisica Termodinamica ________________________________________________________________________________ 2 della macchina vale 0.75 C η η =, dove si è indicato con Cη il rendimento della macchina di Carnot operante tra le stesse temperature. In un’ora si scioglie nella sorgente fredda una massa 12 Kgm = di ghiaccio. Il ciclo si ripete 130 N= volte al minuto . Si calcoli la variazione di entropia per ciclo della sorgente a temperatura più elevata. [ () 1 2 1 111 0.75 1 ; 1.73 J K 160 F Q Tm S TTTN λ η η ⎛⎞ =−Δ=−=− =− ⎜⎟ − ⎝⎠ ] Esercizio 6 Nel piano T-S il ciclo compiuto da una macchina termica è rappresentato in figura. Sapendo che le due sorgenti sono a temperatura rispettivamente di T 1 = 500 K e T 2 =300 K si calcoli il rendimento di tale macchina. [ ( ) ()() 22 1 1221 12 12 ; ; 2 1 0.25 ced ass ced assQTss TT s s Q Q TT QTT η =− +− = − =− = = +] Esercizio 7 Una macchina termica scambia calore con due corpi identici di capacità termica costante inizialmente alle temperature 1T e 2T. Se i corpi sono mantenuti a pressione costante, dimostrare che il lavoro ottenibile dalla macchina vale ( )F pT T T C L2 2 1− + = , dove C p è la capacità termica a pressione costante e FT la temperatura finale. Dimostrare inoltre che L è massimo per 12 F TTT =. Esercizio 8 Una mole di gas perfetto monoatomico subisce una trasformazione che lo porta da uno stato di equilibrio termodinamico a pressione 5 1 10 Pa p = e volume 1 25 l V = ad un secondo stato di equilibrio a pressione 21 2 p p = e volume 21VV = . Stabilire, giustificando la risposta, quali delle seguenti grandezze sono calcolabili in base ai dati forniti: a) Lavoro compiuto dal gas L. b) Quantità di calore scambiata Q . c) Variazione di energia interna U Δ . d) Variazione di entropia S Δ. In caso di risposta affermativa se ne calcoli il valore. [OSSERVAZIONE: il lavoro e il calore scambiati durante la trasformazione dipendono dal tipo di trasformazione seguita. In questo caso, poiché si conoscono solo gli stati iniziali e finali della trasformazione e non la particolare trasformazione seguita, calore e lavoro calcolabili, mentre è possibile calcolare la variazione di energia interna e di entropia essendo queste due grandezze fisiche delle funzioni di stato] [ () 211 3.75 KJ Vc UppV R Δ= − = , 2 1 ln 8.6 V p Snc JK p ⎛⎞ Δ= = ⎜⎟ ⎝⎠ ] 1 2 T S S1 S2 T2 T1 0 Esercitazioni di Fisica Termodinamica ________________________________________________________________________________ 3 Esercizio 9 Si considerino due possibili espansioni adiabatiche di un gas ideale: una reversibile e una irreversibile, che iniziano dal medesimo stato di equilibrio. Assumendo che il volume raggiunto dal gas al termine delle due trasformazioni sia identico, si dica se la temperatura finale 2T è maggiore quando la trasformazione è reversibile o irreversibile. [ 22IRR REVTT ≥ ] Esercizio 10 Un numero n di moli di una sostanza qualsiasi compiono una trasformazione rappresentata nel piano T-S da un segmento di retta SaT= . Si ricavi il calore molare relativo alla trasformazione. [OSSERVAZIONE: è importante osservare che poiché la trasformazione può essere rappresentata nel piano T-S deve essere una trasformazione reversibile; il calore scambiato durante la trasformazione è il calore scambiato in maniera reversibile, quindi è possibile calcolare a partire dalla funzione entropia] [ 11 1 REV dQ dQ Tds T ds T ca n dT n dT n dT n dT n⎛⎞ ⎛⎞ ⎛ ⎞ ⎛⎞ == = == ⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝ ⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ ] Esercizio 11 Una centrale termoelettrica a carbone che fornisce una potenza elettrica di 900 MW elettP = , utilizza come fluido termodinamico vapore di acqua surriscaldato immesso nelle turbine alla temperatura di 2 550 °C T = . La centrale viene raffreddata con l’acqua di un fiume che entra nell’impianto alla temperatura di 1 15 °C T = . Assumendo che il rendimento della centrale elettrica sia pari al 60% del massimo consentito dalle leggi della termodinamica, si calcoli la quanità di carbone m che deve essere bruciata ogni ora. (Potere calorifico del carbone 7500 kcal kg c= ). [ m = 2.6 ⋅10 5 kg/h ] Esercizio 12 Una macchina termica che lavora tra 2 800 °C T = e 1 300 °C T = fornisce una potenza media 10 kW P= con un rendimento pari 60% x= di quello di una macchina di Carnot ( Cη ) operante tra le medesime sorgenti. Si calcoli il calore scambiato con le sorgenti ( Q ass e Q ced ) e la variazione di entropia S Δ dell’universo per un tempo di funzionamento pari a 1h tΔ = . [ 1 2 1 47% C T T η =− = ; 8 Q 1.3 10 Jass C Pt x η Δ ==⋅ , 7 Q 9.3 10 Jced C Pt Pt x η Δ =−Δ=⋅ , 4 12 4.2 10 J K CC Pt Pt Pt xx S TT ηη ΔΔ −Δ Δ= − = ⋅ ] Esercizio 13 Una macchina termica a gas perfetto operante tra due sorgenti a temperature 1 200 K T = e 2 500 K T = esegue un ciclo composto da un’isoterma reversibile AB a temperatura 2T , un’adiabatica irreversibile BC, un’isoterma reversibile CD a temperatura 1T ed infine da un’adiabatica reversibile DA. Noti i rapporti: 2 B AV V = e 2.3 C DV V = : 1. Si disegni il ciclo suddetto nel piano pV Esercitazioni di Fisica Termodinamica ________________________________________________________________________________ 4 2. Si determini il rapporto BC DA L L tra i lavori eseguiti nelle due adiabatiche 3. Si determini il rendimento η del ciclo 4. Si determini il rendimento Cη di una macchina di carnot che operi tra le stesse sorgenti [ ( ) () 21 12 1 V BC DA V nc T T L LncTT− ==− −, 1 2ln 1 52% ln C D B AV T V V T V η ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ =− = ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ , 1 2 1 60% C T T η =− = ] Esercizio 14 Una macchina termica opera tra due serbatoi di calore a temperature 1 600 K T = e 2 310 K T = . Sapendo che la potenza erogata dalla macchina è 5 7.5 10 kW P=⋅ , calcolare la minima quantità di calore trasmessa per unità di tempo 2Q t Δ al serbatoio freddo. [ 2 8 2 12 810 W Q T P tTT ==⋅ Δ−] Esercizio 15 Una quantità nota di gas perfetto biatomico alla temperatura 1T contenuto in un recipiente indeformabile viene posto in contatto termico con una sorgente a temperatura 1 2 2 T T=. Il sistema, supposto isolato, raggiunge l’equilibrio termodinamico. Determinare la variazione di entropia del gas gas S Δ e quella del sistema complessivo sistemaSΔ . [OSSERVAZIONE: si tratta di un raffreddamento isocoro irreversibile] [ () 21 12 ln ln ln 2 gas V V V TT Sncncnc TT ⎛⎞ ⎛⎞ Δ = =− =− ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ , () 1 1 22 5 ln 1 ln 2 22 V sistema serbatoio gas V nc T T SS S nc nR TT⎛⎞ ⎡⎤ Δ=Δ +Δ=− = − ⎜⎟ ⎣⎦ ⎝⎠ ] Esercizio 16 Una macchina frigorifera compie 4 n= cicli al secondo assorbendo una potenza 1.2 kW P= . Essa funziona in modo irreversibile, scambiando calore con due sorgenti alle temperature 1 300 K T= e 2 250 K T=. Sapendo che in ogni ciclo si ha una variazione di entropia 0.4 J K S Δ = , si determini il calore 1Q e 2Q scambiato dalla macchina con ciascuna sorgente in un ciclo e il tempo tΔ necessario per sottrarre alla sorgente fredda una quantità di calore pari a 250 kJ Q= . [OSSERVAZIONE: per risolvere l’esercizio bisogna semplicemente osservare che la variazione di entropia dell’universo, a seguito della trasformazione ciclica, è pari a: 1 2 21Q Q S TT Δ=− +e che il lavoro immesso nella macchina frigorifera è pari a: 12 L Pt Q Q= Δ= − . [ 2 1 21 1200 J 11 P S nT Q TT−Δ == −, 1 2 21 900 J 11 P S nT Q TT−Δ == −, s 4 . 69 2 = = Δ Q nQ t ] Esercitazioni di Fisica Termodinamica ________________________________________________________________________________ 5 Esercizio 17 Due macchine termiche utilizzano le stesse sorgenti alle temperature 1 300 K T= e 2 600 K T=. La prima macchina reversibile cede il calore 1 1 kJ Q= in un ciclo. La seconda macchina irreversibile con rendimento 0.3 irrη = produce lo stesso lavoro della prima. Si calcolino il lavoro L prodotto dalle macchine e la variazione di entropia dell’universo in un ciclo per ciascuna delle due macchine. [ 2 1 1 11 kJ T LQ T ⎛⎞ =−= ⎜⎟ ⎝⎠ , 0 revS Δ=, 2 2 1 1 1 1 12 1 11 1 2.25 J K irr irr irr T T Q Q T T S TT η η ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ −− − ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠⎝⎠ Δ= − =] Esercizio 18 Un ciclo frigorifero impiega 2 moli di un gas ideale biatomico che compie le seguenti trasformazioni reversibili: AB compressione adiabatica da una temperatura iniziale 266 K AT= a una temperatura finale 351 K BT=; BC raffreddamento isocoro fino alla temperatura T A; CA espansione isotermica (in cui il volume si raddoppia: 2 ACVV = ). Dopo aver disegnato il ciclo sul piano (p,V), si determinino il calore AQ sottratto alla sorgente di temperatura inferiore, il fattore di prestazione ε del frigorifero e la variazione di entropia BCSΔ del gas durante il raffreddamento isocoro. [Q A = 3⋅10 3 J; () ln 6.56 ln A A C A AVBA CV RT V V RT c T T V ε ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ == ⎛⎞ −− ⎜⎟ ⎝⎠; J ln -11.5 K A BC V BT Snc T ⎛⎞ Δ= = ⎜⎟ ⎝⎠ ] Esercizio 19 Un sistema termodinamico è costituito da una miscela di acqua e ghiaccio che si trova in equilibrio alla pressione atmosferica di 5 10 Pa Ap=. Per aumentare la massa di ghiaccio a spese di quella di liquido di una quantità 10 gm Δ = si sottrae calore alla miscela accoppiandola ad una macchina frigorifera che cede calore alla temperatura 2 20 °C T= . Calcolare il lavoro minimo necessario. (Calore latente di fusione 80 cal g Fλ =) [ () 21 1 245 J ASS F SPESO FQ m LTT T λ ε Δ == −= ]