Mathematical Engineering - Fisica Sperimentale 1

04 - Molle in serie e molle in parallelo

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Molle in serie e molle in parallelo Deniamo la costante elastica equivalente come la costante elastica di una molla che possiamo sostituire all'insieme di molle in serie (parallelo)senzache avvenga alcuna variazione nel sistema in esame. Costante elastica equivalente per molle ideali in serie Iniziamo esaminando la gura [1], una massa appesa al sotto tramite una molla di costante elasticak 1, se il sistema e in equilibrio la forza esercitata dalla molla in modulo pari ak 1x 1sara uguale alla forza peso applicata alla massa: k1x 1= mg(1) dovex 1e l'allungamento della molla con costante elastica k 1.Figura 1: Una massa me appesa al sotto tramite una molla di costante elasticak 1 Aggiungiamo al nostro sistema una seconda molla ideale di costante elasticak 2 ed utilizziamola per appendere al sotto il sistema composto dalla mollak 1e dalla massam, chiaramente siccome anche in questo caso la massa e in quiete, su di essa devono agire due forze uguali ed opposte, quella della molla di costante elasticak 1e la forza peso. La molla k 2(essendo priva di massa la molla k 1) deve esercitare anch'essa una forza pari admganche il punto di unione delle due molle sia in quiete gura[2].Figura 2: La molla k 2esercita una forza pari, in modulo, ad mg Possiamo ripetere la stessa procedura anche per una terza molla di costante elasticak 3come in gura [3. Chiaramente e possibile continuare ad aggiungere molle arbitrariamente. La forza che ogni molla dovra esercitare sara pari ad mg.Figura 3: La molla k 3esercita una forza pari, in modulo, ad mg Nel caso con tre molle posso scrivere l'allungamento totale delle tre molle come:x=x 1+ x 2+ x 3(2) Una molla equivalente deve allungarsi esattamente di una quantita pari adxe deve esercitare una forza pari, in modulo, admgsulla massa sospesa, questo ci permette di scrivere: mg=k eqx =k eq (x 1+ x 2+ x 3) (3) dato che, per quanto detto precedentemente,mg=x 1k 1= x 2k 2= x 3k 3 possiamo scrivere: mg=k eq mgk 1+ mgk 2+ mgk 3 (4) ovvero risolvendo perk eq: 1k eq= 1k 1+ 1k 2+ 1k 3(5) Costante elastica equivalente per molle in parallelo Il calcolo della costante elastica equivalente per piu molle in parallelo e piu semplice di quanto visto per le molle in serie, infatti ogni molla si allunghera della stessa quantitax, come si puo vedere in gura [4]Figura 4: Due molle in parallelo si allungano della stessa quantita 2 la forza totale esercitata sulla massa mdalle due molle sara quindi uguale a k1x +k 2x e in modulo dovra eguagliare la forza pesomg: k1x 1+ k 2x 2= mg(6) ovvero:mg=k eqx = (k 1+ k 2) x(7) da cui deduciamo prontamente: keq= k 1+ k 2(8) 3