Mathematical Engineering - Fisica Sperimentale 1

06 - Cinematica relativa - leggi di composizioni

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Sia dato un sistema di riferimento Oxyz fermo nello spazio, che definiamo come sistema di riferimento assoluto. Sia dato un secondo sistema di riferimento O *x*y*z* in moto rispetto al primo sistema di riferimento. Ci riferiamo a questo secondo sistema di riferimento con il termine sistema di riferimento relativo. Nel caso più generale il sistema di riferimento relativo effettuerà un moto di rototraslazione rispetto al sistema di riferimento assoluto con velocità di traslazione v O* , velocità angolare di rotazione ω e accelerazione angolare α. Si consideri un punto materiale in moto nello spazio. Obiettivo della presente trattazione è quello di capire come sono legate le descrizioni del moto osservato dal sistema di riferimento assoluto e osservato dal sistema di riferimento relativo. La posizione del punto materiale rispetto al sistema di riferimento assoluto è completamente descritta dal vettore r(t), a cui nel seguito ci riferiremo con il termine r ASS (t): ASS x y z rxu yuzu =+ + JJJG JJGJJGJJG La posizione del punto materiale rispetto al sistema di riferimento relativo è completamente descritta dal vettore r*(t), a cui nel seguito ci riferiremo con il termine r REL (t): *** *** REL x y z rxu y uzu =++ JJJG JJG JJG JJG La posizione dell’origine O* del sistema di riferimento relativo rispetto al sistema di riferimento assoluto è descritta dal vettore OO*(t), a cui nel seguito ci riferiremo con il termine r O* (t): ** * *OOxOyOzrxu y uzu =+ + JJG JJGJJGJJG O x y z O* x* y* z * vO* ω P r r* OO * Dalla regola di somma dei vettori, si vede immediatamente che * ASS REL O rrr=+ JJJG JJJG JJG (1) A partire da queste relazioni è possibile ricavare come sono legate le velocità e le accelerazioni che l’osservatore assoluto e l’osservatore relativo attribuiscono al punto materiale. LEGGE DI COMPOSIZIONE DELLE VELOCITA’ IN CINEMATICA RELATIVA: Derivando ogni termine della relazione (1) si ottiene che deve sussistere la seguente relazione di uguaglianza: * ASS O REL dr dr dr dt dt dt=+ JJJG JJG JJJG (2) E’ possibile valutare il valore di ognuno dei termini presenti nella relazione (2): () xyz ASS x yzASS dxu yu zu dr dx dy dz uuuv dt dt dt dt dt++ ==++=JJGJJGJJG JJJG JJGJJGJJGJJJJG (3) Si osservi che nello scrivere l’espressione della derivata del vettore posizione r ASS (t) non si è considerata la derivata dei versori in quanto, essendo il sistema assoluto fermo nello spazio, i versori non subiscono variazioni nel tempo e quindi hanno derivata nulla. L’espressione contenuta nella relazione (3) rappresenta la velocità con cui l’osservatore assoluto vede muoversi il punto materiale; chiamiamo tale velocità v ASS . () *** *** *** * *** * * ***xyz REL y x z xyz dxu yu zu dr dt dt du du du dx dy dz uuux y z dt dt dt dt dt dt++ == =+++ + +JJG JJG JJG JJJG JJG JJG JJG JJG JJG JJG (4) In questo caso invece si è tenuto in conto anche della derivata dei versori del sistema di riferimento relativo, in quanto, essendo un sistema in moto, presenterà dei versori che variano la loro direzione nel tempo (nel caso in cui il sistema di riferimento relativo stia ruotando). Si può osservare che i primi tre termini dell’espressione (4) rappresentano la velocità con cui l’osservatore relativo vede muoversi il punto materiale: chiamiamo tale velocità v REL . Utilizzando le formule di Poisson è possibile conoscere il valore della derivata dei versori del sistema di riferimento relativo e esprimere in maniera diversa gli ultimi tre termini della relazione (4): * * * * * * x x y y z z du u dt du u dt du u dt ω ω ω =× =× =× JJG JG J J G JJG JG J J G JJG JG J J G Sostituendo nella (4) si ottiene: ()()() ()( )() ()*** *** *** *** *** *** REL REL x y z REL x y z REL x y z REL REL dr vx uy uz u dt vxuyuzu vxuyuzu vr ωωω ωω ω ω ω =+ ×+ ×+ ×= =+× +× +× = =+× + + = =+×JJJG JJJJG JGJJG JGJJG JGJJG JJJJGJG JJG JG JJG JG JJG JJJJGJG JJG JJG JJG JJJJGJGJJJG (5) Infine, derivando l’ultimo termine presente nella relazione (2) si ottiene: () *** * *** * Ox Oy Oz O OOO xyzO dx u y u z u dr dt dt dx dy dz uuuv dt dt dt++ == =++=JJG JJJJG JJG JJG JJGJJGJJGJJJG (6) L’espressione contenuta in quest’ultima relazione rappresenta la velocità con cui l’osservatore assoluto vede muoversi l’origine O* del sistema di riferimento mobile; chiamiamo tale velocità v O* . Sostituendo le relazioni (3), (5), (6) nella relazione (2) si ottiene infine: * ASS REL REL O vv rv ω =+×+ JJJJGJJJJGJGJJJGJJJG , dove: v O* rappresenta la velocità con cui il sistema di riferimento mobile trasla rispetto al sistema di riferimento fisso; ω x r REL rappresenta la velocità con cui il punto del sistema mobile coincidente con la posizione occupata da P ruota rispetto al sistema fisso. I due termini in genere vengono sintetizzati in un’unica velocità, denominata velocità di trascinamento, v TRASC : essa rappresenta la velocità con cui il punto del sistema mobile coincidente con la posizione occupata da P rototrasla rispetto al sistema fisso. () * ASS REL REL O REL TRASC vv rvvv ω =+×+=+ JJJJGJJJJGJGJJJGJJJGJJJJG JJJJJG (7) L’ultima relazione scritta rappresenta la legge di composizione delle velocità in cinematica relativa. LEGGE DI COMPOSIZIONE DELLE ACCELERAZIONI IN CINEMATICA RELATIVA: Derivando ogni termine della relazione (7) si ottiene che deve sussistere la seguente relazione di uguaglianza: ( ) * REL ASS O REL dr dv dv dv dt dt dt dt ω × =++ JG JJJG JJJJGJJJG JJJJG (8) Calcoliamo il valore di ognuno dei termini presenti nella relazione (8): 22 2 222xyz ASS xyzASS dx dy dz du u u dv dt dt dt dt dt dx dy dz uuua dt dt dt⎛⎞ ++ ⎜⎟ ⎝⎠ == =++= JJGJJGJJG JJJJG JJGJJGJJGJJJJG (9) L’espressione contenuta nella relazione (9) rappresenta l’accelerazione con cui l’osservatore assoluto vede muoversi il punto materiale; chiamiamo tale accelerazione a ASS. ( ) *** *** 2* 2 * 2* * * * * * * *** 222xyz REL y x z xyz dxu yu zu d dt dv dt dt du du du d x d y d z dx dy dz uuu dt dt dt dt dt dt dt dt dt⎛⎞ ++ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ == =+ ++ + + =JJG JJG JJG JJJJG JJG JJG JJG JJG JJG JJG I primi tre termini della relazione soprascritta rappresentano l’accelerazione con cui l’osservatore relativo vede muoversi il punto materiale: chiamiamo tale termine a REL . Utilizzando di nuovo le formule di Poisson è possibile riscrivere gli ultimi 3 termini in maniera differente: () () () *** * * * *** *** *** ***y x REL z REL REL x y z REL x y z du du dv du dx dy dz a dt dt dt dt dt dt dt dx dy dz auuu dt dt dt dx dy dz auuu dt dt dt ωωω ωωω =+ + + =+ ×+ ×+ ×= ⎛⎞⎛ ⎞⎛⎞ =+× +× +× ⎜⎟⎜ ⎟⎜ ⎝⎠⎝ ⎠⎝ JJG JJG JJJJGJJG JJJJG JJJJGJGJJG JGJJG JGJJG JJJJGJG JJG JG JJG JG JJG *** *** REL x y z REL REL dx dy dz auuu dt dt dt av ω ω =⎟ ⎠ ⎛⎞ =+× + + = ⎜⎟ ⎝⎠ =+×JJJJGJG JJG JJG JJG JJJJGJGJJJJG (10) *** * 22 2 *** * 222OOO xyz O OOO xyzO dx dy dz du u u dv dt dt dt dt dt dx dy dz uuua dt dt dt⎛⎞ ++ ⎜⎟ ⎝⎠ == =++=JJGJJGJJG JJJG JJGJJGJJGJJJG (11) L’espressione contenuta nella relazione (11) rappresenta l’accelerazione con cui l’osservatore assoluto vede muoversi l’origine O* del sistema di riferimento mobile; chiamiamo tale accelerazione a O* . () REL REL REL REL REL dr dr dr d rr dt dt dt dt ω ω ωαω × = × +× =× +× JG JJJG JJJG JJJG JG JJJG JG JG JJJG JG Sostituendo nella relazione appena scritta la relazione (5), si ottiene: () () REL REL REL REL REL REL REL dr rvr dt rv r ω αω ω αω ωω × =× +× +× = =× +× +××JG JJJG JGJJJG JG JJJJGJGJJJG JG JJJG JG JJJJGJGJGJJJG (12) Sostituendo infine i risultati delle relazioni (9), (10), (11) e (12) nella relazione (8), si ottiene: () * * 2 ASS REL REL O REL REL REL REL O REL REL REL REL TRASC COaa va r v r aa r r v aa a ωαωωω ωω α ω = +× + +× +× +×× = =++××+× +×= =+ +JJJJGJJJJG JG JJJJGJJJG JGJJJG JGJJJJGJGJGJJJG JJJJGJJJG JGJGJJJG JGJJJG JGJJJJG JJJJG JJJJJJGJJJG (13) La relazione scritta rappresenta la legge di composizione delle accelerazioni in cinematica relativa, dove: () * TRASC O REL RELaa r r ωω α =+××+× JJJJJJGJJJG JG JG JJJG JG JJJG (14) 2 CO RELav ω =× JJJG JG JJJJG (15) L’accelerazione di trascinamento a TRASC rappresenta l’accelerazione con cui il punto del sistema mobile coincidente con la posizione occupata da P rototrasla rispetto al sistema fisso. Tale termine è composto da un termine di traslazione a O* e da due termini di rotazione, corrispondenti il primo all’accelerazione normale e il secondo all’accelerazione tangente che deve possedere il punto del sistema mobile coincidente con la posizione occupata da P per ruotare intorno al sistema fisso. Il termine contenuto nella relazione (15) prende il nome di accelerazione complementare, o di Coriolis, a CO ed esiste solo nel caso in cui il sistema di riferimento stia ruotando e contemporaneamente il punto materiale abbia una certa velocità rispetto al sistema di riferimento relativo.