Mathematical Engineering - Finanzia Matematica I

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Nome e Cognome: Numero di matricola: Esame Finanza Matematica I, 8 Luglio 2019 Nota: I risultati degli esercizi contrassegnati con l'asterisco debbono essere riportati nel testo del compito. Occorre consegnare tutto (testo e fogli su cui sono svolti i calcoli) 1)In un contesto conNtitoli rischiosi distribuiti come una variabile casuale multivariata normale e uno privo di rischio, considera un individuo con funzione di utilità esponenziale. a) Determina il portafoglio ottimo dei titoli rischiosi. b) Nel caso diN= 2, commenta il risultato sulla base dei principi di diversicazione e assicurazione. 2)Nel caso di struttura dei tassi di interessi piatta (capitalizzazione esponenziale): a) Calcola il prezzo di un coupon bond int= 0con usso(R; R; ::::; R+C)e scadenza traTanni. b) Calcola l'approssimazione al primo e al secondo ordine del prezzo. c) Illustra e dimostra il Teorema di Redington. 3)Illustra il funzionamento del sistema nanziario tramite intermediari (circuito indiretto) e mercati (circuito diretto). Illustra in particolare le ragioni che sono alla base della intermediazione nanziaria. 4)* Considera due titoli con rendimenti logaritmici(~ R1;~ R2) distribuiti come una variabile casuale normaleN(0; V), dove Va =" 0:12 0:05 0:05 0:16# eVb =" 0:120:05 0:05 0:16# a) Calcola il VaR e l'ES a un giorno all'1% dei due titoli per le due matrici varianza-covarianza. Risposta: VaR[~ Ra 1= ;~ Rb 1= ] ,[~ Ra 2= ;~ Rb 2= ] . ES[~ Ra 1= ;~ Rb 1= ] ,[~ Ra 2= ;~ Rb 2= ] . b) Calcola il VaR a un giorno del portafoglio composto da una unità del primo titolo e una unità del secondo titolo per le due matrici varianza-covarianza. Verica la subadditività del VaR. Risposta:[;] : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1/ 2 Nome e Cognome: Numero di matricola: c) Commenta il risultato ottenuto al punto b) per il VAR rispetto al punto a): : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5)* Data la matrice dei dividendi D=2 6 41 2 6 4 3 2 3 5 13 7 5; di inversaD 1 =2 6 4 0:1111 0:44440:2222 0:03170:2698 0:3492 0:1746 0:01590:07943 7 5; e il vettore dei prezziq> = (2:51;3:19; k): a) Determina i valori dikche non permettono opportunità di arbitraggio. Risposta:[ ]. b) Postok= 2:85verica (nelle sue quattro componenti) la put-call parity nel caso di derivati europei scritti sul secondo titolo con strike price pari a2:5. Risposta:[ = ]. c) Elimina il primo titolo, determina l'insieme dei piani di consumo replicabili. Risposta:[ ]. 6)* Dati un titolo privo di rischio dal rendimentor f= 1 :02e tre titoli rischiosi con rendimenti attesie= (1:03;1:05;1:09)e matrice varianza-covarianza V=2 6 40 :09 0:04 0:05 0:04 0:13 0:03 0:05 0:03 0:173 7 5; di inversaV 1 =2 6 414 :81483:70373:7037 3:7037 8:94480:4892 3:70370:4892 7:05803 7 5; a) Determina la frontiera dei portafogli. Risposta:H= [ ]. b) Determina il portafoglio tangente. Risposta:we > = [; ;]. c) Determina il portafoglio ottimo di titoli rischiosi nel caso di un individuo con funzione di utilità esponenziale, un euro di ricchezza e coeciente assoluto di avversione al rischioa= 2. Risposta:w> = [; ;]. d) Esprimi tale portafoglio come combinazione lineare (;1) diw0 = (0;0;0)ewe . Risposta:= [ ]. 2/ 2