Mathematical Engineering - Finanzia Matematica I

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Esame Finanza Matematica I 10 luglio 2018 1)Dal lato del passivo considera un coupon bond con scadenzaT a= 7, cedole annuali pari a 3 e valore nominale pari a 100 e uno zero coupon bond con scadenzaT b= 5 e valore nominale pari a 100. Dal lato dell'attivo considera due coupon bonds di valore nominale 100, scadenzaT c= 4 e T d= 11, cedole annuali pari a 2. Struttura di tassi di interessi piatta con yield ratey= 0:03 (capitalizzazione esponenziale). a) Determina i prezzi dei quattro bonds, come varia il valore del portafoglio tramite l'approssimazione al primo ordine se il tasso diviene pari ay= 0:01? Commenta il risultato. b) Determina un portafoglio (a; b; c; d) dei quattro titoli in modo tale da soddisfare le con- dizioni di immunizzazione di Redington. c) Considera il portafoglio (1=3;2=3;2=3;1=3), quale e' la variazione del portafoglio a seguito della variazione di tasso di cui sopra? Commenta il risultato. 2)Dati tre titoli con rendimenti attesie= (1:03;1:05;1:08) e matrice varianza-covarianza V=2 6 40 :12 0:05 0:1 0:05 0:15 0:08 0:1 0:08 0:163 7 5 a) Determina la frontiera dei portafogli. b) Determina i portafogli di frontiera con varianza pari a 0:2. c) Il portafoglio (1=4;1=4;1=2) e' di frontiera? In caso negativo costruisci il portafoglio di frontiera con il medesimo rendimento atteso. 3)Considera un'economia in quattro istanti di tempo (t= 0;1;2;3), un titolo rischioso caratterizzato nella sua evoluzione da un albero binomiale:S(0) = 1,u= 1:06; d= 0:95 trat= 0 et= 2 eu= 1:02; d= 0:97 trat= 2 et= 3, e un titolo privo di rischio dal rendimentor f= 1 :01. a) Determina gli state prices int= 0. b) Verica int= 0 la put-call parity nel caso di opzioni europee con strike prices pari a 1. c) Determina int= 0 il prezzo di non arbitraggio di un'opzione call/put americana con strike price 1. Verica che la put-call parity non e' soddisfatta. 4)Considera l'albero binomiale:S(0) = 1,u= 1:06; d= 0:95 trat= 0 et= 1, e un titolo privo di rischio dal rendimentor f= 1 :01. a) Determina il portafoglio ottimo nel caso di massimizzazione dell'utilita' attesa conu(x) = px . b) In questo caso vale il risultato di separazione tramite due fondi comune? Fornisci una risposta motivata e una dimostrazione. 5) Dati tre titoli dal rendimento (E[ ~x 1] = E[ ~x 2] = 0) 8 > < > :~ r 1= 0 :2 + 0:4 ~x 1 0:2 ~x 2 ~ r 2= 0 :30:2 ~x 1+ 0 :3 ~x 2 ~ r 3= 0 :40:1 ~x 1+ 0 :6 ~x 2(0.1) a) Determina i portafogli puri (quelli che hanno una esposizione rispetto ad un fattore pari ad uno e zero rispetto all'altro) e il loro rendimento atteso. b) Determina il portafoglio privo di rischio e il suo rendimento. c) Aggiungi un titolo dal rendimento ~ r 4= + 0:2 ~x 1 0:3 ~x 2 per quali valori diquesto titolo soddisfa le condizioni di non arbitraggio? Verica l'APT. 6)a) Descrivi le principali teorie sulla curva dei tassi di interesse. b) Descrivi come il rendimento di un investimento obbligazinario sia in uenzato dalle vari- azioni dei tassi di interessi in futuro e come esso dipenda dall'orizzonte di investimento.