Mathematical Engineering - Finanzia Matematica I

Formulario

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Alessandro Marco Cesare Moneta Formulario FINANZA MATEMATICA Leggi di capitalizzazione Legge di capitalizzazione sempliceLegge di capitalizzazione composta Legge di capitalizzazione mista Capitalizzazione semplice Capitalizzazione composta Parti di anno Multipli di anno (dall’1/1 al 31/12) Leggi di sconto Tassi equivalenti Legge dello sconto commercialeLegge dello sconto composto Capitalizzazione sempliceCapitalizzazione composta tasso annuale tasso di riferimento su una parte pari a di un anno Tasso reale Tasso d’interesse nominale Tasso d’interesse reale Saggio d’inflazione Se uso le frazioni di anno posso comunque usare il tasso annuale ti t=, PCX , ti = EXe(scontosecondolaueaaediK=' f-capitalizzazioni µ :%: :L .si#i.....senoia-- • (stilo ,K)) -"composta@ @ -Ico,KSK ESPONENZ .Prezzo di uno zero coupon bond che paga x in T Capitalizzazione semplice Capitalizzazione compostaCapitalizzazione esponenziale Operazioni a pronti Tassi d’interesse a pronti Tasso di interesse spot in capitalizzazione semplice nell’intervallo di tempo [t, T]Tasso di interesse spot in capitalizzazione composta nell’intervallo di tempo [t, T] Tasso di interesse spot in capitalizzazione esponenziale nell’intervallo di tempo [t, T] yeld rate Tasso di interesse forward istantaneo in T definito in t Tasso di interesse istantaneo spot limite dello yeld rate Prezzo di un coupon bond con flusso cedolare x Zero coupon bond con scadenza al tempo T Flusso cedolare Tempo L’operazione è equa Flusso cedolare Tempo (compreso il flusso delle imposte) Vengono due soluzioni positiveVengono due soluzioni di cui una negativa e una positiva Il TIR è quella positiva Metodo del bootstrapping Devo conoscere scadenza, prezzo nominale, cedola e prezzo reale Calcolo gli interessi per le scadenze di cui ho dati riguardo gli zero coupon bond Imposto la formula per il calcolo dei prezzi dei coupon bond e sostituisco gli interessi noti e ricavo da essa l’interesse alla scadenza Calcolo gli interessi a tempi intermedi di due scadenze note interpolando Se non sono tutti noti e quelli ignoti sono ad un estremo È possibile che ci siano da risolvere equazioni implicite (non sono da risolvere a mano) Se non sono tutti noti ma quelli ignoti sono compresi tra due noti sfrutto l’interpolazione e ricavo direttamente da essa quelli ignoti Calcolo tutti gli interessi tramite interpolazione in funzione di un unico interesse estremo (il primo o l’ultimo) appoggiandomi su un interesse noto Calcolo l’unico interesse incognito risolvendo un’equazione implicita (non a mano) Ricavo tutti gli interessi che avevo espresso tramite questo TIRCostruzione della curva dei tassiVariabile normale e lognormale Principio di immunizzazione Duration del Iº ordineDuration del IIº ordineConvexityMetodi di immunizzazione Teorema di Fisher & Weil (2 titoli) Unica uscita positiva L > 0 in un istante temporale H > t condizione su ffi ciente per l’immunizzazione del portafoglio dato un singolo shift dei Metodo con teorema di Fisher & Weil Impongo l’uguaglianza della duration con le incognite sugli investimenti nei titoli:Impongo l’uguaglianza dei valori attuali con le incognite sugli investimenti nei titoli:Risolvo il sistema di due equazioni e ottengo l’investimento nei titoli che devono fare per ottenere entrate le entrate richieste Flusso cedolare Tempo (compreso il flusso delle imposte) Media delle date di pagamento ponderata per il valore attuale dei flussi Valore attuale (all’istante t) (all’istante iniziale) Uscite Entrate Immunizzazione Un portafoglio si dice immunizzato se dato uno shift dei tassi, ad un istante di tempo si ha che il valore attuale dei flussi di cassa in entrata è maggiore di quelli in uscita: tassi (supposti aventi struttura piatta) è che ComproVendo allo scoperto Duration e convexity matching (3 titoli) il portafoglio è immunizzato dato un singolo shift dei tassi (supposti aventi struttura piatta) (all’istante iniziale) Uscite Entrate relative al titolo i-esimo di N titoli (all’istante iniziale)(all’istante iniziale) Metodo con duration e convexity matching Risolvo il sistema di due equazioni e ottengo l’investimento nei titoli che devono fare per ottenere entrate le entrate richieste ComproVendo allo scoperto (all’istante iniziale)(all’istante iniziale)(all’istante iniziale) Impongo l’uguaglianza delle duration con le incognite sugli investimenti nei titoli:Impongo l’uguaglianza dei valori attuali con le incognite sugli investimenti nei titoli:Impongo l’uguaglianza delle convexity con le incognite sugli investimenti nei titoli: Immunizzazione con doppio shift Se abbiamo uno shift al tempo t = t* dobbiamo ricalcolare il portafoglio immunizzato prendendo come istante iniziale t* Calcoliamo la modifica del portafoglio in base a quello che abbiamo ComproVendo Duration del portafoglio Duration di Macaulay LADURAtionDiUNPORTAFOGLIO Èe-Datadai{|DU(t,d'×)=DU(titolo ) epeso(percentuale)Du(t, dtx)= [ " È daaie(Tn-t)(stile,Tn)) -""-t' È DU(t,X) = E(Tn-t)×.e-yctn -ti-→ plt ,×) = [←e-alta -tiplt ,X) Utilità qualsiasi Definisco la ricchezza Calcolo l’utilità attesa Cerco il punto di massimo dell’utilità attesa Il punto di massimo è il portafoglio ottimo Scelte di portafoglio Certo equivalentePremio per il rischio Data una lotteria che chiamiamo il suo equivalente certo verifica Il premio per il rischio è tale che Portafoglio ottimo dato un titolo rischioso e uno a rendimento fisso Utilità quadraticaUtilità quadratica Variazioni Domanda di titolo rischioso Domanda di titolo rischioso Variazioni Relazione con il certo equivalente Portafoglio ottimo con N titoli rischiosi e uno a rendimento fisso (o qualsiasi combinazione di questi) 1 titolo rischioso e 1 titolo non rischioso2 titoli rischiosi funzione utilità concavafunzione utilità concava Se la funzione utilità non è concava la condizione è solo necessaria Il portafoglio ottimo può non essere unico Portafoglio a varianza minima dati due titoli rischiosi Privo di rischioPrivo di rischio Valore atteso del portafoglio ottimoVarianza del portafoglio ottimo qualsiasi Investimento nel primo titolo Investimento nel secondo titolo Correlazione - covarianza Frontiera dei portafogli N titoli rischiosi Portafoglio di frontiera Dato il rendimento atteso il portafoglio di frontiera è Rendimento attesoVarianzaCovarianza Portafoglio a covarianza nulla Il rendimento del portafoglio a covarianza nulla con un portafoglio dato è individuato dall’intersezione con l’asse delle ordinate della retta passante per il portafoglio dato e il portafoglio a varianza minima Vettore rendimenti attesi dei titoliMatrice varianza-covarianza dei titoli N titoli rischiosi e un titolo privo di rischio Covarianza Portafoglio a varianza minima Varianza Portafoglio di frontiera Portafoglio tangente Investimento nel titolo privo di rischio Dato il rendimento atteso il portafoglio di frontiera è Scelto Varianza PortafogliomiglioreE-avevoaventevarianzaminore÷ ÷ :÷÷i÷÷÷÷÷ :÷:* .UtilitàEXP)(inGeneralePORTAF.Ottimoe-re 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