Mathematica Engineering - Modelli e Metodi dell'Inferenza Statistica

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Politecnico di Milano Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione Corso di Studi in Ingegneria Matematica Appello di Modelli e Metodi dell’Inferenza Statistica 21 Gennaio 2019 cI diritti d’autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sar`a perseguito. Nome e cognome: Numero di matricola: Esercizio 1. Si consideri un campione casuale X1,...,X nestratto da una legge con la seguente densit`a di probabilit`a: f(x;✓)= ✓x 2e✓x1(0,1)(x), con parametro reale ✓> 0 incognito. (a) Determinare b✓MLE , simatore di massima verosimiglianza per ✓. (b) Determinare d⌧(✓)MLE , stimatore di massima verosimiglianza per ⌧(✓)= ✓1. (c) Determinare la legge di d⌧(✓)MLE . (d) Dimostrare che d⌧(✓)MLE `e asintoticamente eciente e consistente per ⌧(✓). (e) Costruire un intervallo di confidenza asintotico di livello 1 ↵per ⌧(✓). 1 Principio di invarianza asintoticamente efficienteconsistente Esercizio 2 Sia X1,...,X nun campione casuale da una distribuzione con la seguente densit`a di probabilit`a: f(x|✓)=2 ✓2 x31(✓,1)(x),✓> 0. (a) Si calcoli lo stimatore di massima verosimiglianza b✓per ✓; (b) Si calcoli la densit`a di probabilit`a di b✓; (c) Si trovi la regione critica di livello ↵2(0,1) basata sul rapporto di versimiglianza per il test d’ipotesi: H0:✓= ✓0vs H1:✓6= ✓0,✓0> 0; (d) Utilizzando la regione critica costruita al punto (c), trovare un intervallo di confidenza per ✓di livello (1 ↵); (e) Utilizzando la quantit`a pivotale Q = b✓/✓ , trovare la costante c> 0 anch´e l’intervallo di confidenza (0,b✓c)per ✓sia di livello (1 ↵). 2 Esercizio 3 Un gruppo di ingegneri ambientali `e interessato a valutare i fattori che possono determinare l’inquinamento dell’aria. Per raggiungere questo obiettivo gli ingegneri raccolgono i dati delle centraline ecologiche collocate ai lati della strada. In particolare, gli ingegneri scelgono come misurazione dell’inquinamento dell’aria la concentrazione di NO 2(diossido di azoto) espresso in µg/m 3, mentre le altre variabili misurate sono: •altitudine standardizzata ( st altitudine ); •velo cit`a del vento ( wind speed in km/h ); •tipo di strada ( road type : 0 se strada poco tracata e 1 se strada molto tracata). Rispondete quindi alle seguenti domande dopo aver caricato il file airpollution.txt . (a) Eseguire un’analisi esplorativa dei dati. (b) Impostare e adattare ai dati un modello di regressione lineare per spiegare l’inquinamento dell’aria. (c) Verificare le ipotesi del modello. (d) Valutare la presenza di eventuali punti influenti, scegliendo due metodi fra quelli visti a lezione. De- cidere se ridurre il dataset o meno. Nel caso si scelga di ridurre il dataset, si ripetano i punti (b) e (c) sul nuovo dataset. (e) Costruire un intervallo di confidenza di livello 0 .95 per la media della concentrazione di NO 2rilevato da una centralina posta vicino ad una strada poco tracata, velocit`a del vento pari a 12 km/h eun’ altitudine (gi standardizzata) pari a 0.03. (f ) Eseguire un test d’ipotesi relativo alla velocit`a del vento per verificare che il coeciente associato sia maggiore di 1 .1. (Specificare ipotesi nulla, alternativa, regione critica, statistica test e p-value). 3