Mathematica Engineering - Modelli e Metodi dell'Inferenza Statistica

Esercitazione 3 UMVUE

Divided by topic

Modelli e Metodi dell’Inferenza Statistica A.A. 2019/2020 Esercizio 1. Si consideri il modello statistico dato dalle leggi esponenziali E(⌫),⌫> 0, e sia X1,...,X n un campione casuale estratto da una popolazione descritta da tale modello. (a) Si calcoli il limite inferiore per la varianza di uno stimatore non distorto di E⌫[X]=1 /⌫ basato sul campione. (b) Si mostri che Xn`e un UMVUE per E⌫[X]=1 /⌫ . (c) A partire dalla statistica min {X1,...,X n}si costruisca un altro stimatore corretto per E⌫[X]=1 /⌫ e se ne calcoli l’errore quadratico medio. (d) Si confrontino i due stimatori. Esercizio 2. Sia X1,...,X nun campione casuale da una legge uniforme sull’intervallo [0 ,✓],✓> 0. (a) Si determini lo stimatore di massima verosimiglianza di ✓e se ne calcoli la distorsione. (b) Si deduca da (a) uno stimatore corretto per ✓e se ne calcoli l’errore quadratico medio. (c) La statistica trovata in (b) `e un UMVUE per ✓? (d) Soddisfa la disuguaglianza di Cram´er-Rao? Esercizio 3. Sia X1,...,X nun campione casuale da una legge normale N(µ, 2) di parametri sconosciuti. Si mostri che gli UMVUE per i seguenti parametri sono proprio gli stimatori indicati in tabella: Parametro UMVUE µ Xn= 1 n nX i=1 Xi 2 S2n= 1 n1 nX i=1 (XiXn)2 r n1 2 [( n1)/2] [n/ 2] Sn Quantile di ordine ↵ z↵ r n1 2 [( n1)/2] [n/ 2] Sn+Xn Esercizio 4. Dato un campione casuale X1,...,X n(n 1) estratto da una popolazione B(p),p2[0,1], si trovino gli UMVUE per pep2. Esercizio 5. Dato un campione casuale X1,...,X nda una distribuzione N(µ, 1), si vuole stimare ⌧(µ)= µ2. (a) Trovare Tnstimatore di massima verosimiglianza per µ2. (b) Trovare ˆ ⌧n, stimatore corretto a varianza uniformemente minima per µ2. (c) Calcolare la varianza di ˆ ⌧n. (Pu`o essere utile ricordare che il momento quarto di una variabile aleatoria Y ⇠N (m, s 2) vale E[Y4]= m4+6 m2s2+3 s4.) (d) Mostrare che la varianza di ˆ ⌧n`e strettamente maggiore del limite di Cram´er–Rao. Esercizio 6. Dato un campione casuale X1,...,X n,n 2, estratto da una popolazione N(µ, 2), si trovi lo stimatore di 2della forma ↵S 2di minimo errore quadratico medio. [T= n1 n+1 S2] Esercizio 7. Dato X ⇠P (), > 0, si consideri lo stimatore di ⌧()= P(X = 0) = e definito da T= I{0}(X). (a) Si mostri che T `e l’UMVUE di e . (b) Si mostri che T `e addirittura l’unico stimatore corretto di e . (c) Si mostri che l’errore quadratico medio di T non raggiunge il limite inferiore di Cram´er-Rao. [MSE (T)=e (1 e)> e2per ogni > 0] Esercizio 8. Sia X una variabile aleatoria discreta che pu`o assumere solo i valori -2, 0, 2, rispettivamente con probabilit`a p(2) = 1 2✓, p (0) = 2 ✓, p (2) = 1 2✓. (a) Per quali ✓la funzione prisulta una densit`a? [0  ✓ 1/2] Sia X1,...,X nun campione di variabili aleatorie indipendenti con la stessa densit`a p. (b) Determinare l’espressione della funzione ftale che la funzione di verosimiglianza si scriva (2✓)nf(x1,...,x n)✓1 2✓ ◆f(x1,...,x n) .[ f(x1,...,x n)= 1 2 nX i=1 |xi|] (c) Calcolare lo stimatore di massima verosimiglianza per ✓.[ ˆ✓n= 2nP ni=1 |Xi| 4n ] (d) `E l’UMVUE? [S`ı ] Esercizio 9. Sia X1,...,X nun campione di rango ndi variabili aleatorie indipendenti di densit`a f✓(x)= ✓x ✓11(0,1)(x),✓> 0. (a) Si trovi lo stimatore di massima verosimiglianza ˆ✓ndi ✓e se ne calcoli la distorsione. [ˆ✓n= n P ni=1 log Xi, di distorsione ✓ n1] (b) Si deduca da (b) uno stimatore corretto per ✓e se ne calcoli l’errore quadratico medio. [ˆ✓n= n1 P ni=1 log Xi,diMSE ✓(ˆ✓n)= ✓2 n2] (c) Soddisfa la disuguaglianza di Cram´er-Rao? [S`ı ma non raggiunge il limite inferiore di FCR] (d) E’ l’UMVUE? [S`ı ] Esercizio 10. Sia ( X1,...,X n) un campione casuale estratto da una distribuzione con densit`a: f(x|✓)= ✓(1 + x)(1+ ✓)I(0,+1)(x),x 2R,✓> 0. (a) Nel caso in cui ✓> 1,si stimi ✓con il metodo dei momenti e se ne deduca uno stimatore di 1 /✓. [ˆ✓=1+1 /Xn, [(1/✓)= Xn/(1 + Xn)] (b) Si trovino, se esistono, gli stimatori di massima verosimiglianza di ✓edi1 /✓. [MLE di ✓= n/ P log(1 + Xi), MLE di 1 /✓ = P log(1 + Xi)/n ] (c) Si trovi, se esiste, una statistica suciente e completa e se ne determini la distribuzione. [T= P log(1 + Xi)⇠ ( n,✓ )] (d) Si trovino, se esitono, gli UMVUE di ✓edi1 /✓. [UMVUE di ✓=( n1)/P log(1 + Xi), UMVUE di 1 /✓ = P log(1 + Xi)/n ] (e) Si determini il limite inferiore di Cramer-Rao per stimatori non distorti di 1 /✓. [1/(n✓ 2)] Si confronti questa quantit`a con l’errore quadratico medio dello UMVUE per 1 /✓. Esercizio 11. Sia ( X1,...,X n) un campione casuale estratto da una distribuzione di Poisson di parametro > 0.Sia ⌧()= e(1 + ). (a) Trovare uno stimatore di massima verosimiglianza per ⌧(). [(1 + Xn)eXn] (b) Trovare uno stimatore non distorto di ⌧(). [P I[0,1](Xi)/n ] (c) Trovare lo UMVUE di ⌧(). [(1 + n n1Xn) ✓ 1 1 n ◆nXn ] Esercizio 12. Sia X1,...,X nun campione casuale da una Gamma(2,1/ ✓) con ✓> 0. Si ha quindi f(x|✓)= ✓2xex/✓ I(0,+1)(x). (a) Determinate una statistica suciente e completa per ✓. [P Xi] (b) Determinate lo stimatore ˆ✓ndi massima verosimiglianza per ✓.[ Xn/2] (c) Mostrate che ˆ✓ncoincide con lo stimatore ¯✓nottenuto col metodo dei momenti. (d) Qual `e la legge di ˆ✓n? [(2 n, 2n/✓ )] (e) ˆ✓n`e distorto? [No] (f ) ˆ✓n`e UMVUE? [S`ı ] (g) Determinate lo stimatore ˆ 2ndi massima verosimiglianza per la varianza di X1. [(Xn)2/2] Esercizio 13. Sia X una variabile aleatoria a valori in (0 ,1) tale che log( X) abbia distribuzione N(µ, 1) con µparametro reale incognito. Ovvero X ha distribuzione log-normale. Per n 1,sia X1,...,X nun campione casuale dalla distribuzione di X. (a) Si calcoli la media ✓di X. [✓=exp( µ+1 /2)] (b) Si determini lo stimatore Tn= Tn(X1,...,X n) di massima verosimiglianza per ✓. [Tn=exp( P log Xi/n +1 /2)] (c) Si calcoli la distorsione di Tnper stimare ✓. [eµ+1 /2(e1/(2n)1)] (d) A partire da Tn,si determini uno stimatore Wnche sia UMVUE per ✓. [e1/(2n)Tn] (e) Si calcoli l’informazione di Fisher I(✓). [I(✓)= n/✓ 2] N.B. Pu`o essere d’aiuto ricordare la funzione generatrice dei momenti di una N(µ, 2): per ogni treale m(t)=exp( µt + 2t2 2 ). Esercizio 14. Sia X1,...,X nun campione casuale di ampiezza n 3 estratto da una popolazione bernoulliana di parametro p2[0,1]. Sia T il prodotto delle sole prime tre osservazioni, ovvero T= X1X2X3. (a) Si mostri che T `e uno stimatore corretto di p3. (b) Si calcoli l’errore quadratico medio di T e lo si confronti col limite inferiore di Cram´er-Rao per gli stimatori corretti di p3basati su un campione di ampiezza n 3. (c) A partire da T si trovi l’UMVUE per p3basato su un campione di ampiezza n 3. Esercizio 15. Dato un campione casuale X1,...,X nda una distribuzione di Bernoulli B(p), si consideri la statistica T(X1,...,X n)= ( 1, se X1=1 ,X 2=0 , 0, altrimenti . (a) Verificare che T(X1,...,X n) `e uno stimatore non distorto della varianza 2della distribuzione. (b) Giudicate interessanti le stime fornite da T(X1,...,X n)? (c) A partire da T(X1,...,X n), costruire l’UMVUE V(X1,...,X n)per 2. X. ...... Xn ~ EHIfrati =te-" Ito ,→'e'①LiminfperStimatore nondistortodiKIM - ta(dellavar ) rara)= tè