Mathematica Engineering - Modelli e Metodi dell'Inferenza Statistica

Esercitazione 4 Test 1

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Modelli e Metodi dell’Inferenza Statistica A.A. 2019/2020 Esercizio 1. Dato un campione casuale X1,...,X 5da una legge B(p), con pincognito e 0  p 1, si vuole sottoporre a verifica l’ipotesi nulla H0:p=1 /2 contro l’ipotesi alternativa H1:p6=1 /2. Si intende impiegare una regione critica del tipo R = ⇢x5 1 2 >c . (a) Cercare i valori di cche danno un test di dimensione ↵= 10%. (b) Cercare i valori di cche danno un test di livello ↵= 10%. Esercizio 2. Un campione di ampiezza 1 `e estratto da una popolazione P(). Per verificare H0:=1 contro H1:= 2, si consideri la regione critica R = {x> 3}. Si trovino le probabilit`a di errore di primo tipo [0.019] e di secondo tipo [0.86] e la potenza del test [0.14] contro = 2. Esercizio 3. Si consideri il modello statistico dato dalle leggi esponenziali E(⌫),⌫> 0, e sia X1,...,X n un campione casuale estratto da una popolazione descritta da tale modello. Trovare i test di dimensione ↵basati sul rapporto di verosimiglianza per (a) ⌫= ⌫0contro ⌫6= ⌫0. (b) ⌫ ⌫0contro ⌫>⌫ 0. h R = {x ↵(n, nµ 0)} i Esercizio 4. Data X ⇠ Bi (n, p ), con nnoto e pincognito in [0 ,1], (a) si cerchi un test di livello ↵basato sul rapporto di verosimiglianza per H0:p p0contro H1:p>p 0, (b) si scriva esplicitamente la regione di rifiuto nel caso n= 5, p0=0 .7, ↵=0 .03. Esercizio 5. Si considerino i due campioni casuali X1,...,X nda una popolazione N(µ1, 2)e Y1,...,Y m da una popolazione N(µ2, 2), dove i parametri µ1,µ2e2sono tutti ignoti. Si vole sottoporre a verifica H0:µ1= µ2+contro H1:µ16= µ2+. (a) Si trovino i test basati sul rapporto di verosimiglianza per queste ipotesi, mostrando che possono essere eseguiti sulla base della statistica T= X Y q S2p 1n+ 1m , dove S2p= 1 n+m 2 ⇣ nX i=1 (XiX)2+ mX i=1 (YiY)2⌘ . (b) Si mostri che T⇠ t(n+m 2) sotto H0. (c) Fissata una dimensione ↵, si determini il corrispondente test basato sul rapporto di verosimiglianza. Esercizio 6. Dato un campione casuale X1,...,X n,n 2, estratto da una popolazione N(µ, 2) con µeentrambi incogniti, si trovino i test basati sul rapporto di verosimiglianza per H0:= 0contro H1:6= 0. Esercizio 7. Sia X1,...,X nun campione casuale da una legge uniforme su {1,...,N },dove N 2 N. Trovare test basati sul rapporto di verosimiglianza, determinandone anche il livello ↵,per (a) N  N0contro N>N 0. (b) N = N0contro N 6= N0. h R = {x(n) N0↵1/n}S{x(n)>N 0} i Esercizio 8. Per un campione di ampiezza 1 dalla legge f(x;✓)= 2 ✓2(✓x), 0✓ 0, h se c< 1, R = { c}= {x(n)>✓ 0}che ha dimensione ↵=0 i (b) ✓= ✓0contro ✓6= ✓0. h se c< 1, R = { c}= {x(n) c1/n✓0}S{x(n)>✓ 0}che ha dimensione ↵= c i Nel caso ✓0= 1 si trovi la minima ampiezza ndel campione con cui il test di dimensione ↵= 5% trovato in (b) risulta avere contro ✓=3 /2 una potenza di almeno 0.8. [ n 4] Esercizio 10. Sia X un campione di ampiezza unitaria da una distribuzione con densit`a: f(x;✓)= 2 ✓2(✓x)I(0,✓)(x) con ✓2(0,1).Si consideri il problema di prova delle ipotesi: H0:✓=1 vs. H1:✓> 1. (a) Se 0`e il test con regione critica R0= {X> 1} si calcoli il suo livello e la sua funzione potenza. h ↵=0 , (✓)= 11/✓2i Esercizio 11. Sia X1,...,X nun campione casuale da f(x;✓)= ✓ x2I[✓,+1)(x),✓> 0. (a) Determinare la regione critica del test di dimensione ↵basato sul rapporto di verosimiglianza per H0:✓ 1vs H1:✓> 1. (e) Calcolare la funzione potenza del test trovato in (a) e disegnarne il grafico. (f ) Quanto deve essere grande n se si vuole che il test trovato in (a) di dimensione ↵ =0 .04 abbia potenza 1 contro ✓= 3? Xi .....Xsv Btp) o:p=, { "°:"- KR = (Itis -ha/ac )Hi:per%⑤ ctalechedimensione 2=10mi Sqnee o pre )=0,i