Mathematica Engineering - Modelli e Metodi dell'Inferenza Statistica

Esercitazione 5 Test 2

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Modelli e Metodi dell’Inferenza Statistica A.A. 2019/2020 Esercizio 1. Data la famiglia di leggi f(x;✓)= 2 ✓2 ✓xI(0,✓)(x), si vuole sottoporre a verifica H0:✓= ✓0contro H1:✓= ✓1, con 0 µ 0. (b) Dedurre da (a) un test uniformemente pi`u potente di livello ↵per H0:µ= µ0contro H1:µ>µ 0. Esercizio 4. Per una variabile X si consideri il modello statistico definito da f(x;)= x 1, 0 1. (b) Il test trovato in (a) `e distorto? (c) Per le ipotesi statistiche del punto (a), fissato 1> 1, si calcoli la potenza massima che pu`o avere un arbitrario test di livello ↵. (d) Dedurre da (a) un test uniformemente pi`u potente di livello ↵per H0:= 1 contro H1:> 1. Esercizio 5. Si trovi un test pi`u potente di livello ↵basato su un campione di ampiezza 1 per verificare H0:X ⇠ f0contro H1:X ⇠ f1,dove f0(x)= ex2/2 p2⇡ ,f 1(x)= e|x| 2 . Esercizio 6. Mostrare che un test basato sul rapporto di verosimiglianza per due ipotesi semplici `e sempre un test di Neyman-Pearson. Esercizio 7. Si mostri che il modello statistico definito da f(x;✓)= 1 ⇡[1 + ( x✓)2],✓ 2R, non ha rapporto di verosimiglianza monotono in X. Esercizio 8. Fissati due numeri naturali n 0, trovare un test uniformemente pi`u potente di livello ↵per H0: 0contro H1:> 0basato su un campione di ampiezza n. Esercizio 10. Si consideri un campione casuale X1,...,X nda una popolazione U[0,✓],✓> 0. Per sottoporre a verifica H0:✓ ✓0contro H1:✓>✓ 0, si consideri la regione critica R↵= n x(n)> (1 ↵)1/n✓0 o . (a) Si verifichi che R↵ha dimensione ↵e se ne calcoli la funzione potenza. (b) Il test dato da R↵`e distorto? (c) Si mostri che il modello ha rapporto di verosimiglianza monotono rispetto a T= X(n). (d) Si deduca da (c) che R↵definisce un test uniformemente pi`u potente di ogni test di livello ↵ per H0:✓ ✓0contro H1:✓>✓ 0. Per sottoporre a verifica l’ipotesi H0:✓= ✓0contro H1:✓6= ✓0, si consideri la regione critica R0↵= n x(n)✓ 0 o (e) Mostrare che R0↵definisce un test uniformemente pi`u potente di livello ↵ per H0:✓= ✓0contro H1:✓6= ✓0. (f ) Il test dato da R0↵`e distorto? Esercizio 11. Sia R la regione critica di un test UMP di livello ↵per H0:✓2⇥0contro H1:✓2⇥1. Cosa accade di dimensione, livello e propriet`a UMP se, fissato R, allarghiamo o restringiamo⇥ 1? Esercizio 12. Sia X un campione di ampiezza unitaria da una distribuzione con densit`a: f(x|✓)= 2 ✓2(✓x)I(0,✓)(x) con ✓2(0,1).Si consideri il problema di prova delle ipotesi: H0:✓=1 vs. H1:✓> 1. (c) Fissato ↵2(0,1),si costruisca la regione critica del test 1uniformemente pi`u potente di livello ↵ e se ne calcoli la funzione potenza. Esercizio 13. Si consideri un’unica variabile X descritta dal modello statistico f(x;✓)= ex✓ 1+ ex✓2, 1 0. (e) Calcolare la potenza del test in (a) nel caso ↵=0 .3. Esercizio 14. Si consideri un campione X di ampiezza 1 dal modello statistico f(x;µ)= 1 2e|xµ|, 1 >< >>: 1 ✓mx m1exm✓ se x> 0; 0 altrimenti ove m `e un numero naturale noto e ✓un parametro positivo ignoto. Dato ✓0> 0,si determini la regione critica del test di livello ↵2(0,1) uniformemente pi`u potente per verificare le ipotesi H0:✓= ✓0 contro H1:✓>✓ 0. ② ^a. io , fanatico . tendenzaUsoNeymar - Pearson : RC = Ifree .)aKflare . )) { CercoKt.cidellarettasotto,auna Ì ! → n'% ,certo.nonsi RC : Ix < c) "' l4ITL =e"t.comyiitt =e". Iyla)a {re" ttf .= l' ×"RC=/qui ,K' l ', Per oeK'e' are RC=RD='-/i lztrt ,→-E,ezero, ¥ ,oCn)) = pic , ) t pls)- pic . ) ti- qlc . )? I- pic . ) + pic , ) -i+ pic) - qual tic.=-c.→ 201k) - epica) =a-iCz=-(3 fetente penetrarti .Rc: (ait.cl = {sM"ù /¨ c) = /synn.fie)±csup " già:o)}§Ifiè , aol.ec - fiallSnp µL al _f.ix.e.)vflx.atHpSemplici:• Po . lxeRc) =LSempredime.Ho:e.e. Il!!!Hi:l'e' finito) +romani(IIII:) fra.nl =- LRM?Mèunintero! in ra =.f-ix.mi IIVI:L