Mathematica Engineering - Modelli e Metodi dell'Inferenza Statistica

Esercitazione 6 Intervalli

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Modelli e Metodi dell’Inferenza Statistica A.A. 2019/2020 Esercizio 1. Si consideri il modello statistico dato dalle leggi esponenziali E(⌫),⌫> 0, e sia X1,...,X n un campione casuale estratto da una popolazione descritta da tale modello. Trovare gli intervalli di confidenza per ⌫di livello =1 ↵costruiti sulla base di: (a) test LR per ⌫= ⌫0contro ⌫6= ⌫0; (b) quantit`a pivotale Q =2 ⌫P ni=1 Xi. Esercizio 2. Per un campione di ampiezza 1 dalla legge f(x;✓)= 2 ✓2(✓x), 0 0. (a) Si trovi la legge di Y = 1 log X e si calcoli il livello di confidenza dell’intervallo Y 2,Y per ✓. (b) Si mostri che X✓`e una quantit`a pivotale e la si usi per costruire un intervallo di confidenza per ✓ di livello arbitrario 2(0,1), scegliendo quello di ampiezza minima. (c) Si confronti l’intervallo Y 2,Y con l’intervallo trovato in (b) di pari livello. Esercizio 7. Sia X1,...,X nun campione casuale da una Gamma(2,1/ ✓) con ✓> 0. Si ha quindi f(x;✓)= ✓2xex/✓ I(0,+1)(x). (a) Determinate una statistica suciente e completa per ✓. (b) Determinate lo stimatore ˆ✓ndi massima verosimiglianza per ✓.[ ˆ✓n= Xn/ 2] (c) Mostrate che ˆ✓ncoincide con lo stimatore ¯✓nottenuto col metodo dei momenti. (d) Qual `e la legge di ˆ✓n?[ ˆ✓n⇠ (2 n, 2n/✓ )] (e) ˆ✓n`e distorto? [No] (f ) ˆ✓n`e UMVUE? [S`ı ] (g) Proponete un intervallo di confidenza per ✓di livello 0.99. (continua ...) Esercizio 8. Si consideri il modello statistico f(x;µ)= 1 2e|xµ|, 1