Mathematica Engineering - Modelli e Metodi dell'Inferenza Statistica

Formulari : Foglio formule I parziale (fronte)

Etc

SERIE CONVERGENZA SERIE PROBABILITA' Sigma algebra Probabilità Probabilità condizionata FUNZIONE DI RIPARTIZIONE i punti di salto sono i punti in cui è concentrata la probabilità Discreta Continua Definizione 1. 2. funzione monotona non decrescente 3. funzione continua da destra Trovare la funzione di ripartizione NB Va definita si può definire anche a pezzi NB Si pone la funzione di ripartizione nulla a sinistra dell'intervallo quasi certo di definizione della VA NB Attenzione quando si cambiano le funzioni indicatrici NB 1.Scrivo la funzione 2. monotona crescente 3. monotona decrescente 4. ne crescente ne decrescente Faccio il grafico di e capisco come si comporta e poi separo i casi stando attento a dove posso prendere i valori di X e di Y Utilizzo del grafico di per trovare la funzione di ripartizione 1.Disegno la funzione 2.Associo a una probabilità calcolata con X per usare la sua funzione di ripartizione che conosco: Trovo la probabilità associata a ciascuna y tracciando una retta orizzontale sul grafico di NB Se c'è un salto sulle y la funzione di ripartizione per le y del salto rimane costante ed è uguale a quella per la y inferiore di inizio del salto DENSITA' DI PROBABILITA' Trovare la densità di probabilità NB Va definita si può definire anche a pezzi NB Attenzione quando si cambiano le funzioni indicatrici 1. con è invertibile 2. 3. VARIABILI ALEATORIE Supporto NB Bisogna specificare che la variabile aleatoria assume certi valori quasi certamente e quindi la sua immagine ha quei valori quasi certamente NB Bisogna stare attenti nel rapporto tra variabili aleatorie perché la VA a denominatore deve essere diversa da zero (questo vale più in generale per tutte le condizioni di esistenza) Uguaglianza tra funzioni Due funzioni sono uguali se lo sono per ogni valore del loro dominio Uguaglianza quasi certa Due variabili aleatorie si dicono uguali quasi certamente se sono uguali su un insieme di probabilità 1, due variabili aleatorie sono uguali quasi ovunque se sono diverse su insiemi di misura nulla Funzione boreliana Ben definizione Una variabile aleatoria è ben definita quasi certamente quando valgono le sue condizioni di esistenza se prende i suoi valori in un insieme di probabilità 1 Una variabile aleatoria è ben definita quasi ovunque quando non valgono le sue condizioni di esistenza per degli insiemi di misura al più nulla Variabile aleatoria discreta con VA discreta VA discreta con VA discreta e funzione biettiva (a ogni elemento del dominio corrisponde uno e uno solo elemento del codominio) VA discreta Variabile aleatoria continua con VA continua VA continua Variabile aleatoria reale Variabile aleatoria semplice Parte positiva Parte negativa generalizzate non negative Costruire una variabile aleatoria Per costruire una variabile aleatoria bisogna definire spazio campionario , sigma algebra , legge di probabilità (metodo di calcolo) e l'effettiva funzione Indipendenza con misurabili con misurabili e positive Trovare la legge di distribuzione Discreta 1.Cerco la densità di probabilità discreta 2.Definisco la legge a partire dalla densità di probabilità NB Bisogna caratterizzare anche gli insiemi e "altrimenti" Continua Si trova derivando la funzione di ripartizione Quantili - moda - punti percentuali Discreta Quantili NB Non è unico Moda Continua Quantili Moda NB Se la funzione è monotona crescente la moda è all'estremo destro dell'intervallo, mentre se la funzione è monotona decrescente è all'estremo sinistro Punti percentuali VALORE ATTESO Variabile aleatoria semplice Variabile aleatoria discreta Variabile aleatoria discreta su S Variabile aleatoria continua Variabile aleatoria mista Regola del valore atteso ( discreta) : a. b. Regola del valore atteso ( continua) : a. b. spazio vettoriale Convergenza monotona : Lemma di Fatou : Conv dom : Spazio delle variabili integrabili spazio vettoriale VARIANZA con Disuguaglianza di Chebyshev : VETTORI ALEATORI DISCRETI Densità di probabilità marginale = sommo tutte le probabilità congiunte degli elementi fissando il k-esimo Regola del valore atteso Indipendenza NB Se c'è un elemento nullo nella congiunta senza elementi nulli nella marginale allora le variabili non sono indipendenti Costruire un vettore aleatorio discreto Per costruire un vettore aleatorio bisogna definirne il supporto , la densità di probabilità e le componenti VETTORI ALEATORI CONTINUI Densità di probabilità marginale Indipendenza Regola del valore atteso a. b. COVARIANZA 
 con COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE -- per un vettore aleatorio c'è al più un elemento diverso da 0 in ogni colonna della densità congiunta TASSO DI FALLIMENTO Interpretando X come un tempo di attesa, il tasso di fallimento rappresenta la probabilità istantanea di arrivo, sapendo che l’attesa è durata fino al tempo t.!!k=0xkk!=ex n!k=0kxk=x1"xn (1"x)2"nxn+11"x !!k=11(k+1)=! !!k=0kxk= x(1"x)2 !!k=0xk=11"xse!x!(X$t)*+/i*: X=IA:,=:VA>A*+ Xk:,=:VA/k=1,...,n>X=(X1,...,Xn):,=:nVA Xk:,=:VA/k=1,...,n1h::n=:misurabile -h(X1,...,Xn):,=:VA X:,=:VA1X:,=:VA-X%Y,X+Y,XY,X1Y(=min),X#Y(=max)sono VA Xk:,=:VA/k=1,...,n-supn(Xn),infn(Xn),lim supn(Xn),lim infn(Xn)sono VA Xk:,=:VA/k*.1Xn(#)n9X(#)/#*,-XVA #Im(X)$#, SX={t*S:p(t)>0}={t*::f(t)>0} X=Y>X(#)=Y(#)/#*, Xq.c=Y>3(X=Y)=1>3(X&Y)=0>m(X&Y)=0 Xq.c=Y-X?Y X=Y-Xq.c=Y-PX=PY@X?Y@fx=fyq.o Xq.c=Y>Xkq.c=Yk/k=1,...,n h::n=:k*C0atratti(:n)-hboreliana XVAdiscreta AFXcostante atratti XVAdiscreta >!s*DBFX(s)=1conD={s*::BF(s)=F(s)"F(s")} Xq.c=Y Y-XX=h(Y) Yh-XXVAcontinua >FX*C0(:)0C1atratti(:) XVAcontinua -P(X=x)=0/x*: Xq.c=Y Y-XY=f(X)1XVAcontinua 1ftalechevaleJacobi -YVAcontinua Im(X)4: #Im(X)=nX=n!k=1xk%IAkconAk=(X=xk)*+/k=1,...,n:{Ak}nk=1partizione X+=max{X,0}=X#0 X"="min{X,0}="X10 X=X+"X" X+,X"'0-VA !X!=!X+!+!X"! ,+PXX(#) XCCY>3(X*A,Y*B)=3(X*A)%3(Y*B)/A*D/B*E XCCf(X) X,Y*L11XCCY-X%Y*L11F[XY]=F[X]%F[Y] Xq.c=X51Yq.c=Y51XCCY-X5CCY5 ;k,l:p(X,Y)(k,l)&pX(k)%pY(l)-XCCY S(X,Y)&SXGSY-XCCY XCCY-COV(X,Y)=0 XCCY>h(X)CCg(Y) h,gXCCY>F[h(X)%g(Y)]=F[h(X)]%F[g(Y)] h,gBHIm(X) !*[0,1],q!*SX:{3(X$q!)'! 3(X{3(X$q!)'! 3(X'q!)'1"! {px(k+1)$px(k) px(k"1)$px(k) F(q!)=!q!"!fX(x)dx=! ddxfX(x)=0 p!*:,!*(0,1):3(X'p!)=! F[X]=n!k=1xk%3(X=xk) F[X]=!#*,X(#)%p# F[X]=!#*SX(#)%p(#) F[X]=!:x%f(x)dx F[X]=F[Xc%I{X*Scont}+Xd%I{X*Sdisc}]=!Scont x%f(x)dx+ !#*SdiscX(#)%p# XX:,=EVARdiscreta 1h:E=:/[0,+!]misurabile - h(X)*L1(,,+,3)>h*L1(E,D,PX) F[h(X)]=!t*Sh(t)%p(t) XX:,=EVARcontinua 1h:E=:/[0,+!]misurabile - h*L1(PX)>hfx*L1(m) F[h(X)]=!:h(t)%fx(t)dm(t) I1F[aX+bY]=aF[X]+bF[Y] X'0-F[X]'0 0$X$Y1Y*I1-X*I110$F[X]$F[Y] X'01F[X]=0-Xq.c=0 X*I1>!X!*I1 !F[X]!$F[!X!] Xq.c=Y-F[X]=F[Y] Xnsuccessione diVA,XVA:0q.c$Xnq.c$X1Xn6X -F[Xn]6F[X]@F[X]=F[limnXn]=limnF[Xn] Xnsuccessione diVAR ,YVAR:Yq.c$Xnq.c$!1Y*I1 -F[lim infnXn]$lim infnF[Xn] Xnsuccessione diVAR ,X,YVAR:Xnq.c9X1!Xn!q.c$Y/n1Y*I1 -Xn*I1,X*I1,F[Xn]n9F[X]>F[limnXn]=limnF[Xn] Xq.c=c,c*:-X*I1,F[X]=c F[X]>0-3(X>0)>0 F[!X!]=F[X+]+F[X"] aq.c$Xq.c$b-X*I1,a$F[X]$b 3(X=!)>0-F[X]=! Xn:,=[0,+!]VA/n-F !!n=1Xn=!!n=1F[Xn] Xn:,=:VA/n:!!n=1F[!Xn!];c:X=cq.c>;c:X?%c 3(!X"&!'a)$$2a2 $2=F[X2]"F[X]2 XVettAdiscreto >X1,...,XnVAdiscrete pk(xk)= ! xi*Si,xi&xkp(x1,...,xk,...,xn) X:,=:nVettAdiscreto 1h::n=:boreliana #h*L1(PX)boreliana - F[h(X)]=!,h(X)d3=!:nhdPX=!t*Sh(t)%p(t) X:,=:nVettAdiscreto 1{Xk}k=1,...,nfamiglia diVAindipendenti >p(t1,...,tn)=p1(t1)%...%pn(tn)/t1*S1,...,tn*Sn SpXVettAcontinuo -XkVAcontinua /k XVettAcontinuo -!Sf(x)dx=1 XVettAcontinuo 1{Xk}k=1,...,nfamiglia dieventi indipendenti >XkVAcontinua /k1{Xk}k=1,...,nfamiglia dieventi indipendenti fk(xk)=!:n"1f(x1,...,xk,...,xn)dx1...dxk"1dxk+1...dxn X:,=:nVettAcontinuo 1{Xk}k=1,...,nfamiglia diVAindipendenti >f(x1,...,xn)=f1(x1)%...%fn(xn)quasi ovunque >h(x1,...,xn)=h1(x1)%...%hn(xn)quasi ovunque conhk::=:funzione qualsiasi X:,=:nVettAcontinuo 1h::n=:boreliana #h*L1(PX)boreliana - h*L1(PX)>hf*L1(mn) F[h(X)]=!,h(X)d3=!:nhdPX=!:nh(X)f(x)dx COV(X,Y)=F[(X"F[X])%(Y"F[Y])]=F[XY]"F[X]F[Y] X,Y*L2 COV(X,a)=0 COV(X,Y)=COV(Y,X) XCCY-COV(X,Y)=0 COV(X,Y)=0-Xscorrelata daY COV(aX+bY,cV+dW)=acCOV(X,V)+adCOV(X,W)+bcCOV(Y,V)+bdCOV(Y,W) COV(X,X)=Var(X) COV(X,Y)$Var(X)%Var(Y) Var(X1+...+Xn)=Var(X1)+...+Var(Xn)+2!iY='Var(Y) Var(X)%X"'Var(Y) Var(X)%F[X]+F[Y] '=0>Xscorrelata daY '=0AXCCY !'!=1- hX(t)=lim(90+3(tt+s!X>s)=P(X>t) /t,s&- a+b2[a,b]&- n2#112 continua Numeri randomX!U(a,b) a+b21#pp2F(k)=1#(1#p)k $(X=x)=p%(1#p)n#k F(k)=(1#p)n#k#1 $(X=x)=1n/x F(y)=)(lny#&' ) X!Gtraslata (p) X=n#YconY!G(p) F(k)=kn -1#pp2Y=eX:X!N(&,'2) discreta Numeri random o estrazione senza reimmissione di elementi da un gruppo di n elementiX!U(a,b) 1!2n#1p &F(x)= 0xb '$(X=x)=p%(1#p)x#1 np $(x=1)=p $(x=0)=1#p p(1#p) -{a,...,b} 1p'+h(n#h)r(n#r) n2(n#1) Tentativi prima del primo successo in una serie di Bernoulli con probabilità p X!G(p) P(X>t+s!X>s)=P(X>t) /t,s&' rhn max{0,r+k#n})k k)min{r,h} !Trasformazioni lineari distribuzioniBernoulliBinomialePoissonGeometricaEsponenzialeNormaleGamma X!N(&x,'2x)(Y!N(&y,'2y)(X00Y 1X±Y!N(&x±&y,'2x+'2y) {Xk}k&'famiglia diVAindipendenti (Xk!.(!k) 1min{X1,...,Xn}!. {Xk}k&'(Xk!P(!k) 1!kXk!P(!k!k) e {Xk}k&'famiglia diVAindipendenti (Xk!Be(p) N!P(!) 1N!k=1Xk!P(!%p) X!+(#,$)(Y!+(",$)(X00Y 1X+Y!+(#+",$) {Xk}k&'famiglia diVAindipendenti (Xk!.(!)/k 1X1+...+Xn!+(n,!) X!G(p1)(Y!G(p2)(X00Y 1min(X,Y)!G(p1+p2#p1p2) e X!B(n1,p)eY!B(n2,p) X00Y 1X±Y!B(n1+n2,p) X!+(#,$)(Y=cX,c>0 1Y!+(#,$c) X!.(!1)(Y!.(!2)(X00Y 1min(X,Y)!.(!1+!2) {Xk}k&'famiglia diVAindipendenti (Xk!G(!k) 1min{X1,...,Xn}!G {Xk}nk=1famiglia diVAindipendenti (Xk!Be(p) 1n!k=1Xk!B(n,p) Con reimmissioneSenza reimmissioneSimultaneaSpazio campionarioEvento "Ottengo h elementi di tipo 1 sui k estratti"Ordine non conta Senza reimmissione #2=(Nk) Ordine conta Senza reimmissione #2= N! (N#k)! Modi di disporsi Ordine non conta Senza ripetizione Scelte Ordine conta Con reimmissione #M=(kh) #S=#tipoh1%#tipok#h1 Ordine conta Con reimmissione #2=Nk Modi di disporsi Scelte Ordine non conta Senza reimmissione #M=1 #S=(#tipo1h)%(#tipo2 k#h) #A=#M%#S Modi di disporsi Ordine non conta Senza ripetizione Scelte Ordine conta Senza reimmissione #M=(kh) #S= #tipo1! (#tipo1#h)!% #tipo2! (#tipo2#(k#h))! n numero di elementi k numero di postiReimmissione con ripetizioniNO reimmissione senza ripetizioniPermutazione Ordine conta n = kDisposizione Ordine conta n ≠ kCombinazione Ordine non conta n ≠ kn! (n#k)! nkn! r ripetizioni di ogni n n! r1!r2!...rn! (nk)= n! k!(n#k)! (n+k#1k ) Spazi campionariSpazio delle permutazioni di elementi (n elementi) di classe Spazio delle disposizioni senza ripetizione di elementi (n elementi) di classe Spazio delle disposizioni con ripetizione di elementi (n elementi) di classe Spazio delle combinazioni senza ripetizione di elementi (n elementi) di classe Spazio delle combinazioni con ripetizione di elementi (n elementi) di classe {k1,...,kn} m2={*=(*1,...,*m)!*&{k1,...,kn},*i3*j,/i3j} {k1,...,kn} m2={*=(*1,...,*m)!*i&{k1,...,kn}/i,*i3*j,/i3j} {k1,...,kn} m2={k1,...,kn}m {k1,...,kn} m2={*4{k1,...,kn}!#*=m} {k1,...,kn} m2={*4{k1,...,kn}n!#*=m} AnalisiRisultati notevoli Bernoulli Ek=55esce 6alkesimo lancio 55 $(,6)=$(limsupn6,Ek)=$(7,n=1(8k9nAk))={7,n=1Bn:B Bn=8k9nAk}= =limn6,$(8k9nEk)=limn6,[1#$(7k9nEck)]=1#limn6,$(7k9nEck)= =1#limn6,"k9n$(Eck)=1 $(sempre 6)=$(solo6)=$(7,k=1Ek)=$(limn6,7nk=1Ek)=limn6,$(7nk=1Ek)= =limn6,n"k=1$(Ek)=0 $(,6,6c)=$(limsupn6,En7limsupn6,ECn)=$(limsupn6,En7(liminfn6,En)c)= =$(limsupn6,En)#$(limsupn6,En7liminfn6,En)={limsupn6,En;liminfn6,En}= =$(limsupn6,En)#$(liminfn6,En)=1#0=1 $(mai6)=$(7,k=1Eck))$(7nk=1Eck)1$(maiEk)=limn6,n"k=1$(Eck)=0 $(primi 106)=$(E1,...,E10,7,k=1Eck)=$(E1,...,E10)%limn6,n"k=1$(Eck)=0 $(6dauncerto punto inpoi)=$(liminfn6,En)=0 $(esattamente 10volte 6))$(liminfn6,Ecn)=0 $(almeno 10volte 6)9$(limsupn6,En)=1 $(almeno 1volta 6)=1#$(nessun 6)91#$(7,k=1Ek)=1#$(limn6,7nk=1Ek)= =1#limn6,n"k=1$(Ek)=1#0=1 liminfnXn(*)=liminfn*n={ 0se*k=0per,k 1se*k=0peralpiuunnumero ,dik limsupnXn(*)=limsupn*n={ 1se*k=1per,k 0se*k=1peralpiuunnumero ,dik Data una successione di insiemi e un elemento esso appartiene al limite inferiore se e solo se tale che per tutti gli . Quindi il limite inferiore consiste di quegli elementi che sono esclusi al più da un numero finito di insiemi di , e che quindi appartengono definitivamente alla successione . Data una successione di insiemi e un elemento esso appartiene al limite superiore se e solo se tale che . Quindi il limite superiore consiste di quegli elementi che si trovano in insiemi della successione un'infinità di volte, quindi non in tutti ma in un numero infinito di essi. lim infn6,An=8,n=1(7k9nAk) An*E X#1(##B#)=##(X#1(B#))/B#>E X#1($#B#)=$#(X#1(B#))/B#>E An:Ase{An;An+1/n A=?nAn An@Ase{An4An+1/n A=AnAn N = numero elementi totali #tipo = numero di elementi di quel tipo degli N k = numero di elementi estratti h = numero di elementi di quel tipoEstrazione simultanea di k elementi di tipo 1 su n estratti senza reimmissioneEstrazione simultanea di k elementi di tipo 1 su n estratti simultaneamente (nk)( #tipo1 #tipo1+#tipo2) k ( #tipo2 #tipo1+#tipo2) n#k (#tipo1k)(#tipo2 n#k) (#tipo1+#tipo2 n ) 1 MANTENERE LO STESSO METODO DI CALCOLO (FORMULA) PER IL CALCOLO DELLO SPAZIO CAMPIONARIO E DEGLI EVENTI 2 RICORDARSI DI RIEMPIRE ANCHE I POSTI NON RICHIESTI ESPLICITAMENTE (RIEMPIRE TUTTI I POSTI DATI) Esempi valore atteso variabile aleatoria mista R=max{X#100,0}=(X#100)%I{X9100}+0%I{X0 C*[G]