01 Foglio di esercizi

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Politecnico di Milano – a.a. 2022/23 Corso di Laurea in Ingegneria Matematica Meccanica Razionale e dei Continui Docente: prof. Michele Correggi Esercitatore: dott. Michele F antechi Foglio di Esercizi 1 Vettori 1. Dimostrare usando l’espressione in componenti e le propriet` a di ϵijk (antisimmetria e ciclicit` a) che⃗ u∧ ⃗ v⊥ ⃗ u, ⃗ ve che (⃗ u∧ ⃗ v) ∧ ⃗ w= (⃗ u· ⃗ w)⃗ v− (⃗ v· ⃗ w)⃗ u. Cinematica del punto materiale 2. Disegnare la linea di universo per un punto materiale in moto rettilineo uniforme e in moto circolare in R2. 3. Dimostrare che nel moto uniforme ⃗ a(t) · ⃗ v(t) = 0, ∀t ∈ R. 4. Dimostrare che in coordinate intrinseche la curvatura k(s(t)) soddisfa l’identit` a: k(s(t)) = |⃗ v(t) ∧ ⃗ a(t)| |⃗ v(t)|3 . 5. Trovare la terna intrinseca ad ogni tempo e le espressioni della velocit` a e dell’accelera- zione per un punto materiale in moto lungo la curva di equazioni parametriche    x(t) = cos ωt, y(t) = sin ωt, z(t) = λt. 6. Mostrare che nel moto in coordinate polari di un punto materiali l’area spazzata dalla curva ` e data dalla quantit` a A(t) = 1 2 Z ϑ1 ϑ0 dτ r 2dϑ, e che si ha ¨A(t) = 1 2 raϑ(t), dove aϑ ` e la componente tangenziale dell’accelerazione, i.e., aϑ(t) = r ¨ϑ + 2 ˙r ˙ϑ. Corpo rigido 7. Usando le coordinate date dagli angoli di Eulero, determinare le espressioni dei versori ˆe1, ˆe2 e ˆe3 in termini di ˆi, ˆj, ˆk. Mostrare inoltre che la velocit` a angolare ` e ⃗ ω= ˙φˆk + ˙ϑˆℓ + ˙ψˆe3, dove abbiamo indicato con ˆℓ := ˆk ∧ ˆe3/ ˆk ∧ ˆe3 il versore che individua la linea dei nodi. 1 Atto di moto 8. Dato il sistema di riferimento {O,ˆı, ˆȷ, ˆk}, si consideri l’atto di moto tale che i punti materiali P e Q soddisfino − →OP = −2aˆı, − →OQ = aˆȷ, ⃗ vP = v0ˆı, ⃗ v Q = βv0ˆȷ, con a, v0 > 0 e β ∈ R: 1.1. trovare il valore di β per cui l’atto di…