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Esercizio 1 Lanciamo tre volte una moneta truccata (la probabilità che esca /t.sc/e.sc/s.sc/t.sc /a.sc nel singolo lancio è p, con 0 < p < 1), sia X la variabile aleatoria che vale 1 se è uscito più spesso /t.sc/e.sc/s.sc/t.sc /a.sc che /c.sc/r.sc/o.sc/c.sc/e.sc e 0 altrimenti, sia Y la variabile aleatoria che vale 1 se i primi due lanci hanno avuto lo stesso esito e 0 altrimenti. 1.1 Determinare la densità congiunta e le densità marginali della coppia ( X,Y ) . L ’esperimento può essere così descritto: Esito: TTT TTC TCT CTT TCC CTC CCT CCC Probabilità p3 p2q p 2q p 2q pq 2 pq 2 pq 2 q3 ( X,Y ) 1, 1 1 , 1 1 , 0 1 , 0 0 , 0 0 , 0 0 , 1 0 , 1 e dunque X = 0 X = 1 Y = 0 2pq 2 2p2q 2pq Y = 1 q2 p2 q2 + p2 q2( 2p + 1) p2( 2q + 1) 1.2 Calcolare E [ XY ] e V ar [ XY ] . Osserviamo che XY è una variabile aleatoria che vale 1 con pro- babilità p2 e 0 altrimenti, ossia ( XY ) ∼Bern ( p2) , pertanto E [ XY ] = p2 e V ar [ XY ] = p2 −p4. 1.3 V erificare che X e Y sono indipendenti se e solo se la moneta non è truccata, cioè se p = 1 2. Os- serviamo che P {X = 0} = q2( 2p + 1) e P {Y = 0} = 2pq , mentre in termini della congiunta si ha P {X = 0,Y = 0} = 2pq 2, perché X e Y siano indipendenti deve valere che P {X = 0} · P {Y = 0} = P {X = 0,Y = 0} , che nel nostro caso significa q2( 2p + 1) · 2pq = 2pq 2 ⇒ q( 2p + 1) = 1, poiché q = 1 −p, l’ultima uguaglianza si riduce a p( 1 −2p) = 0, verificata solo per p = 1 2, dunque se p /nequal1 2 X e Y non sono indipendenti. Resta da stabilire se X e Y siano indipendenti quando p = 1 2, per sostituzione diretta si ottiene X = 0 X = 1 Y = 0 1/4 1/4 1/2 Y = 1 1/4 1/4 1/2 1/2 1/2 dunque: se p = 1 2 , allora X e Y sono indipendenti. Esercizio 2 La variabile aleatoria T = “durata (in migliaia di ore) di una lampadina a Led” ha funzione di…