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Probabilit` a e Statistica — 02/05/2017 Cognome Nome Matricola Domande corrette Punti Esercizio 1 Punti Esercizio 2 Punti Esercizio 3 La risposta a ciascuno dei 10 test ` e considerata valida se e s oltanto se tutti i valori di verit` a relativi sono stati indicati correttame nte. Domanda 1. Siano A, B, C tre eventi con P {A} = 1/2, P {B} = 1 /3, P {C} = 1 /6. Indicare le affermazioni vere. z P {A ∩ B} potrebbe avere qualunque valore tra 0 e 1 /3. se A e B sono indipendenti, allora P {A ∪ B} = 5/6, P {A ∩ B} < 1/6. z P {A ∪ B ∪ C} = 1 se e solo se P {A ∩ B} = P {A ∩ C} = P {B ∩ C} = P {A ∩ B ∩ C} = 0. Domanda 2. Indicare quali delle seguenti funzioni ` e una densit` a di probabilit` a. f (x) = 4 /(3 x) se −1 ≤ x ≤ 2, f (x) = 0 altrimenti, z f (x) = e 1−x se x ≥ 1 e f (x) = 0 altrimenti, f (x) = 4 x − 1 se 0 ≤ x ≤ 1 e f (x) = 0 altrimenti, z f (x) = 2 √ 1 − x2/π se |x| < 1 e f (x) = 0 altrimenti. Domanda 3. Siano X e Y due variabili aleatorie indipendenti con densit` a Binomiali B(n, p ) e B(n, q ). se E [X] > E [Y ] allora X > Y . z E [X] > E [Y ] se e solo se P {X = 0 } < P {Y = 0 }. z se q = 1 − p oppure q = p, allora P {X = 0 , Y = 0 } = P {X = n, Y = n}. se Var [ X] = Var [ Y ] allora p = q. Domanda 4. Si pescano contemporaneamente due car- te da un mazzo di 52. Consideriamo i due eventi B = “esce almeno un J”, C = “escono Q e J”. Allora V Fz P {B − C} = P {B} − P {C}. V Fz B e C sono indipendenti. V Fz B ⊆ C cio` e B ` e contenuto in C. Domanda 5. Siano X e Y due variabili aleatorie indi- pendenti con densit` a di Poisson P(λ) e P(µ). V Fz X + Y ∼ P (λ + µ), V Fz P { Y 1+ X = 0 } = P {Y = 0 }, V Fz Y 1+ X ha densit` a di Poisson con parametro µ 1+ λ . V Fz P {XY = 1 } = λµ e−(λ+µ). Domanda 6. Sia X una variabile aleatoria con densit` a esponenziale con parametro λ.…